Квантовая механика и интегралы по траекториям

β²ℏ²

24𝑚

𝑉''

(

𝑥

)

⎤

⎥

⎦

.

(10.56)

Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по 𝑉''):

𝑍

=

⎧

⎪

⎩

𝑚𝓀𝑇

2πℏ²

⎫½

⎪

⎭

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

-β

⎡

⎢

⎣

𝑉(

𝑥

)

+

βℏ²

24𝑚

𝑉''(

𝑥

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝑑

𝑥

.

(10.57)

Неизвестная константа определяется здесь простым сравнением с результатом классического рассмотрения (10.48). Мы видим, что функция распределения имеет тот же самый вид, что и функция, вычисленная в чисто классических предположениях. Разница состоит лишь в том, что теперь к потенциалу добавлена поправка (βℏ²/24𝑚)𝑉''(𝑥), которая по своей природе является, очевидно, квантовомеханической, как это можно понять из появления в ней постоянной Планка ℏ.

Задача 10.3. Покажите, что поправка к потенциалу в случае трёхмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; 𝑚_𝑖 — масса 𝑖-й частицы) равна

βℏ²

24𝑚

 

∑

^𝑖

1

𝑚_𝑖

∇

2

𝑖

𝑉.

(10.58)

На практике результаты этого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растёт довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Её преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности.

Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвёртую степень ℏ, содержит множитель

⎧

⎨

⎩

1-

β²ℏ²

24𝑚

𝑉''

(

𝑥

)

+

7β⁴ℏ⁴

8×720𝑚²

[𝑉''(

𝑥

)]²

-

β³ℏ³

24×48𝑚²

𝑉''''

(

𝑥

)

+

…

⎫

⎬

⎭

.

Мы уже видели, что для описания квантовомеханических аффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала 𝑉(𝑥) модифицированное выражение 𝑉+(βℏ²/24𝑚)𝑉''. Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал 𝑈(𝑥), после подстановки которого вместо потенциала 𝑉 классическое выражение (10.48) стало бы ещё более точным приближением к истинной квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения

𝑍

=

∫

{

exp[-β𝑉(

𝑥

)]

𝑑

𝑥

}

∫

exp

⎧

⎪

⎩

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

-

-

1

ℏ

_βℏ

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑢)]

-

𝑉[

𝑥

]

𝑑𝑢

}

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.59)

и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям 𝑥(𝑢) от функции 𝑒^𝑓, где

𝑓

=-

_βℏ

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑢)]

-

𝑉[

𝑥

]

}

𝑑𝑢

ℏ

(10.60)

и усреднение производится с весовой функцией exp[-(𝑚/2ℏ)∫𝑥̇²𝑑𝑢] Заменив здесь среднее от экспоненты на экспоненту от среднего

⟨𝑒

^𝑓

⟩

→

𝑒

^⟨𝑓⟩

,

(10.61)

мы тем самым внесли бы погрешность второго порядка по 𝑓, или, точнее, порядка разности между ⟨𝑓⟩² и ⟨𝑓²⟩. В гл. 11 мы увидим, что можно определить знак этой погрешности (левая часть окажется больше правой).

Найдём среднее значение функции 𝑓 для каждого 𝑥:

⟨𝑓⟩

=

1

ℏ

∫

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

_βℏ

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑡)]

-

𝑉[

𝑥

]

}

𝑑𝑡

𝒟𝑥(𝑢)

(10.62)

в предположении, что начальная и конечная точки совпадают, а сама траектория соответствует ограничению, накладываемому равенством (10.50).

Для вычисления этого выражения рассмотрим несколько отличный, но связанный с ним интеграл

𝐼(

𝑥

)

=

∬

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑦̇²

𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

{

𝑉[

𝑥

+𝑦(𝑡)]

-

𝑉[

𝑥

]

}

𝒟𝑦(𝑢)

𝑑𝑌

,

(10.63)

где на траектории 𝑦(𝑢) накладывается ограничение

𝑦(0)

=

𝑦(βℏ)

=

𝑌;

_βℏ

∫

⁰

𝑦(𝑢)

𝑑𝑢

=0.

(10.64)

Фиг. 10.1 Периодичность траекторий.

Все траектории, которые в момент 𝑡=βℏ возвращаются в исходную точку, соответствующую моменту 𝑡=0, можно рассматривать как отрезки длины βℏ периодических траекторий, период которых равен βℏ.

Оказывается, что интеграл 𝐼(𝑥) не зависит от 𝑡. Убедиться в этом можно при помощи следующего рассуждения. Предположим, что каждая траектория в этом интеграле не является конечной, а представляет собой, как показано на фиг. 10.1, отрезок длины βℏ периодической траектории, период которой тоже равен βℏ. Из всего семейства таких траекторий рассмотрим две: 𝑦(𝑡) и 𝑦₁(𝑡)=𝑦(𝑡₁+𝑡), как это показано на фиг. 10.2. Точка 𝑦(𝑡₁) на первой траектории, отвечающая моменту 𝑡=𝑡₁ на второй траектории соответствует моменту 𝑡=0, т.е. 𝑦₁(0)=𝑦(𝑡₁). Кроме того, для любого другого момента 𝑡_𝑖 в этом семействе отыщется аналогичная функция 𝑦_𝑖(𝑡), для которой 𝑦_𝑖(0)=𝑦(𝑡_𝑖), и все такие траектории дадут одинаковый вклад в интеграл

_βℏ

∫

⁰

𝑦²

𝑑𝑢

.

Все эти рассуждения применимы, конечно, к каждой траектории, учитываемой в интеграле (10.63). Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно положить в интеграле 𝑡=0, а это равносильно утверждению, что данный интеграл не зависит от переменной 𝑡.

Фиг. 10.2. Выбор начального момента.

Предположим, что одна из «периодических» траекторий 𝑦(𝑡), показанных на фиг. 10.1, имеет при 𝑡=𝑡₁ значение 𝑦(𝑡₁). Тогда совокупность всех «периодических» траекторий должна содержать эту же траекторию, сдвинутую влево на расстояние 𝑡₁, [т.е. 𝑦(𝑡+𝑡₁)] и принимающую при 𝑡=𝑡₁, то же значение, что и в момент 𝑡=0. Поэтому интеграл, усреднённый по всем таким траекториям, не должен зависеть от выбора начального момента 𝑡=0.

Задача 10.5. Используя метод, кратко описанный в задаче 10.2, покажите, что величины ⟨𝑓⟩ и 𝐼(𝑥) связаны соотношением

𝐼(

𝑥

)

=

⎧

⎪

⎩

12𝑚

2πβℏ²

⎫½

⎪

⎭

_∞

∫

^-∞

[𝑉(

𝑥

+𝑌)-𝑉(

𝑥

)]

𝑒

^{-6𝑌²𝑚/βℏ²}

𝑑𝑌

=

⟨𝑓⟩

β

.

(10.65)