Квантовая механика и интегралы по траекториям

Обозначим нашу приближённую функцию распределения через 𝑍', а связанную с ней свободную энергию Гельмгольца через 𝐹', так что 𝑍'=𝑒^-β𝐹'. Тогда, применяя результаты задачи 10.5 и соотношение (10.61), получаем

𝑍'

=

∫

(exp{

-β[𝑉(

𝑥

)+𝐼(

𝑥

)]

})

𝑑

𝑥

∫

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.66)

Входящий в это выражение интеграл по траекториям уже вычислялся раньше; он имеет вид (10.46). Таким образом, можно записать

𝑒

^-β𝐹'

=

⎧

⎪

⎩

𝑚𝓀𝑇

2πℏ²

⎫½

⎪

⎭

∫

𝑒

^{-β𝑈(𝑥)}

𝑑

𝑥

,

(10.67)

где

𝑈(

𝑥

)

=

_∞

∫

^-∞

𝑉(

𝑥

+𝑦)

𝑒

^{-6𝑌²𝑚/βℏ²}

𝑑𝑦

⎧

⎪

⎩

12𝑚

2πβℏ²

⎫½

⎪

⎭

,

(10.68)

а потенциал 𝑉(𝑥) в явном виде не встречается.

Эти результаты означают, что свободную энергию 𝐹' можно приближённо вычислять классическим методом, т.е. с помощью выражения, подобного (10.48), и при этом получить хорошее приближение, если вместо 𝑉(𝑥) использовать эффективный потенциал 𝑈(𝑥), определяемый соотношением (10.68). Отметим, кстати, что эффективный потенциал зависит от температуры.

Потенциал 𝑈(𝑥) представляет собой среднее значение потенциала 𝑉(𝑥), полученное путём усреднения вокруг точки 𝑥 с гауссовой весовой функцией, среднеквадратичное отклонение которой составляет (βℏ²/12𝑚)^½. Если проанализировать различные неравенства, содержащиеся в нашем приближении, то мы найдём, что приближённое значение свободной энергии 𝐹' превышает её истинное значение 𝐹. Подробности этого обсуждаются в следующей главе [см. неравенство (11.9) и далее].

Задача 10.6. Покажите, что потенциал, определяемый соотношением (10.68), совпадает с «исправленным» потенциалом равенства (10.57) (т.е. с показателем экспоненты в этом равенстве), если в этом последнем разложить 𝑉 в ряд Тейлора.

Задача 10.7. Проверьте справедливость нашего приближения на примере гармонического осциллятора, точное значение свободной энергии которого равно

𝐹

_точное

=

𝓀𝑇

 ln

⎧

⎪

⎩

2sh

ℏω

2𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

.

(10.69)

С помощью эффективного потенциала 𝑈 вычислите приближённое значение свободной энергии; покажите, что

𝑈

=

𝑚ω²

2

⎧

⎪

⎩

𝑥²

+

βℏ

12𝑚

⎫

⎪

⎭

(10.70)

и

𝐹

_прибл

=

𝓀𝑇

⎧

⎪

⎩

ln

ℏω

𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

+

(ℏω)²

24𝓀𝑇

.

(10.71)

При различных значениях частоты ω определите свободную энергию или, ещё лучше, её отношение к величине 𝓀𝑇. Предполагается, что дробь ℏω/𝓀𝑇 может, в частности, принимать значения 1, 2 и 4. Покажите, что, как и следовало ожидать, 𝐹' больше 𝐹 и ошибка возрастает при уменьшении температуры. Обратите внимание, что даже если мы уходим очень далеко от классической области (т.е. когда отношение ℏω/𝓀𝑇=2, так что вероятность пребывания системы в основном состоянии составляет 85%), приближённые результаты все ещё удивительно близки к истинным.

Сравните эти результаты с классическим приближением, где свободная энергия принимается равной 𝓀𝑇 ln(ℏω/𝓀𝑇). Оно приводит к значениям 2𝐹/ℏω, что видно из табл. 1.

Таблица 1

ℏω/𝓀𝑇

1

2

4

Точное значение

0,08266

0,8546

0,9906

Наше приближение

0,08333

0,8598

1,0264

Классический предел

0,00000

0,6931

0,6931

§ 4 Системы с несколькими переменными

Если система зависит от нескольких переменных, то (за исключением специальных задач, связанных с рассмотрением свойств симметрии) формулы, описывающие её поведение, получаются прямым обобщением уже изученных нами методов.

Жидкий гелий. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания функции распределения в случае жидкого гелия. Предположим, что мы имеем 𝑁 одинаковых атомов массы 𝑚, заключённых в некоторый объём. Предположим далее, что эти атомы взаимодействуют попарно; потенциал этого взаимодействия 𝑉(𝑟_1,2) на больших расстояниях соответствует слабому притяжению, а на малых— очень сильному отталкиванию. Для наглядности можно представлять себе 𝑉(𝑟) как потенциал, описывающий столкновение твёрдых шариков, т.е. положить

𝑉(𝑟)

=

⎧

⎨

⎩

0 при 𝑟>2,7Å,

∞ при 𝑟<2,7Å.

(10.72)

Лагранжиан такой системы имеет вид

𝐿

=

 

∑

^𝑖

1

2

𝑚

|𝐑̇|²

-

1

2

 

∑

^𝑖,𝑗

𝑉(𝑟

_𝑖,𝑗

)

,

(10.73)

откуда следует, что функция распределения

𝑍

=

∫

𝑑

^𝑁

𝐑(0)

∫

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

⎧

⎨

⎩

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

|𝐑̇(𝑡)|²

𝑑𝑡

+

+

1

2ℏ

 

∑

^𝑖,𝑗

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝐑

_𝑖

(𝑡)-𝐑

_𝑗

(𝑡)]

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟

^𝑁

𝐑(𝑡)

.

(10.74)

В этом выражении символ 𝑑^𝑁𝐑 означает произведение 𝑑³𝐑₁𝑑³𝐑₂𝑑³𝐑₃ … 𝑑³𝐑_𝑁, аналогично 𝒟^𝑁𝐑 — произведению 𝒟𝐑₁𝒟𝐑₂𝒟𝐑₃ … 𝒟𝐑_𝑁. Мы предполагаем, что все интегралы по тракториям берутся между совпадающими начальными и конечными точками 𝐑_𝑖(0) и 𝐑_𝑖(β), т.е. 𝐑_𝑖(0)=𝐑_𝑖(β).