Квантовая механика и интегралы по траекториям

Своеобразие задач теории твёрдого тела, теории жидкостей и сжимающихся газов, как и поведение этого многократного интеграла, заключается в том обстоятельстве, что простые описания огромного множества простых систем, объединённых вместе, дают такое обилие явлений. Только воображение может помочь нам понять, каким образом объединение систем приводит к подобным результатам. Грубое качественное рассмотрение легко предсказывает многие из этих эффектов, однако и проблема количественного описания их тоже должна быть заманчива для физика-теоретика.

Существует много важных явлений статистического характера, для описания которых классическое приближение становится неприменимым. Трудности, вызываемые большим числом аргументов интеграции, усугубляются здесь ещё и сложностью квантовомеханических понятий.

Строго говоря, выражение (10.48) открывает для нас несколько больше возможностей по сравнению с классической статистикой. Доказательством этому служит появление постоянной ℏ в коэффициенте перед интегралом. В классической механике функцию распределения можно было получить лишь с точностью до постоянного множителя; поэтому и логарифм её определялся только с точностью до произвольной аддитивной константы. Поэтому в выражении для свободной энергии появлялся член, пропорциональный температуре, а в энтропии — аддитивная константа, называемая иногда химическим потенциалом. Её удалось вычислить лишь после того, как появилась квантовая механика.

§ 3. Квантовомеханические эффекты

Как мы уже упоминали, существуют случаи, когда классическое приближение не является достаточно точным. При этом необходимо учитывать изменение потенциала, возникающее в результате движения частицы вдоль «траектории». В этом параграфе мы рассмотрим подобные влияния в первом приближении теории возмущений.

Вместо того, чтобы в выражении для матрицы плотности (10.43) заменять потенциал постоянной величиной 𝑉(𝑥₁), можно было бы попробовать разложить его в ряд Тейлора в точке 𝑥₁. Однако проще и точнее было бы проделать это разложение в окрестности средней точки траектории, определяемой равенством

𝑥

=

1

βℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥(𝑢)

𝑑𝑢

,

(10.50)

которая существует для каждой траектории. По этим средним точкам можно интегрировать точно так же, как это делалось в выражении (10.48) по начальным точкам 𝑥₁. При этом функция распределения принимает вид

𝑍

=

∫

𝑑

𝑥

_𝑥1

∫

^𝑥₁

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

1

ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

+

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑢)]

𝑑𝑢

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.51)

Здесь для интеграции выбраны траектории, удовлетворяющие двум условиям: 1) 𝑥, определяемое равенством (10.50), фиксировано и 2) начала и концы траекторий совпадают (это означает, что интеграл включает также и интегрирование по всем точкам 𝑥₁).

Разлагая потенциал 𝑉(𝑥) в ряд Тейлора в точке 𝑥, получаем

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑢)]

𝑑𝑢

=

βℏ

𝑉(

𝑥

)

+

_βℏ

∫

⁰

[𝑥(𝑢)-

𝑥

]

𝑉'(

𝑥

)

𝑑𝑢

+

+

1

2

[𝑥(𝑢)-

𝑥

]²

𝑉''(

𝑥

)

𝑑𝑢

.

(10.52)

В силу равенства (10.50) второй член в правой части обращается в нуль. Таким образом, мы пришли к выражению, в котором первая отличная от нуля поправка будет поправкой второго порядка. Применяя это разложение и отбрасывая все старшие члены (третьего и высших порядков), получаем для функции распределения

𝑍

≈

∫

𝑒

^{-β𝑉(𝑥)}

𝑑

𝑥

_𝑥1

∫

^𝑥₁

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

_βℏ

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

𝑥̇²

+

+

[𝑥(𝑢)-

𝑥

]²

𝑉''(

𝑥

)

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑢

ℏ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.53)

Интеграл по тракториям в этом выражении отличается от предыдущих тем, что на траектории интегрирования наложено ограничение, выражаемое равенством (10.50). Для дальнейшего перепишем это равенство в виде

_βℏ

∫

⁰

(𝑥-

𝑥

)

𝑑𝑢

=0

.

Подставляя в качестве координаты траектории 𝑦=𝑥-𝑥, запишем это так:

_βℏ

∫

⁰

𝑦

𝑑𝑢

=0

.

а сам интеграл преобразуем к виду

_𝑥1-𝑥

∫

^𝑥₁-𝑥

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

-

_βℏ

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑦̇²

+

1

2

𝑦²

𝑉''(0)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑢

ℏ

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑦(𝑢)

.

(10.54)

Подынтегральная функция в этом выражении та же, что и в случае гармонического осциллятора, если его частота определяется соотношением ω²=𝑉''(0)/𝑚.

Теперь применим к этому интегралу ограничение на траектории следующим образом. Умножаем весь интеграл по траекториям на δ-функции

δ

⎧

⎪

⎩

_βℏ

∫

⁰

𝑦𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

.

Для того чтобы оперировать с δ-функцией под знаком интеграла, произведём над ней преобразование Фурье

δ(x)

=

_∞

∫

^-∞

[exp(𝑖𝑘𝑥)]

𝑑𝑘

2π

и запишем

_∞

∫

^-∞

𝑑𝑘

2π

_𝑥1-𝑥

∫

^𝑥₁-𝑥

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

ℏ

_βℏ

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

𝑚

2

𝑦̇²

+

1

2

𝑉''

𝑦²

+

𝑖𝑘𝑦

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑢

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑦(𝑢)

.

(10.55)

Интеграл, представленный в такой форме, уже содержит в себе ограничения, накладываемые равенством (10.50), и мы можем прямо перейти к стандартным методам его вычисления, чтобы получить искомое решение. Отметим, что наш интеграл имеет тот же самый вид, что и в случае гармонического осциллятора, если 𝑚 и 𝑉'' считать мнимыми. Мы интересуемся лишь случаем малых 𝑉'' и в любой момент можем перейти к приближению, содержащему лишь члены первого порядка.

Задача 10.2. Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям 𝑘, после чего решение с точностью до первого порядка по 𝑉'' имеет вид

const

⎡

⎢

⎣

1-