Квантовая механика и интегралы по траекториям

В гл. 4 мы установили, что ядро 𝐾(2,1) представляет собой функцию Грина для уравнения (10.36); в том же самом смысле матрица плотности ρ(2,1) является функцией Грина для уравнения (10.35).

В случае простых гамильтонианов, зависящих только от импульсов и координат, мы смогли записать ядро в виде интеграла по траекториям. Например, гамильтониану

𝐻

=-

ℏ²

2𝑚

𝑑²

𝑑𝑥²

+

𝑉(𝑥)

(10.37)

соответствует решение для ядра, отвечающего очень короткому промежутку времени 𝑡₂-𝑡₁=ε:

𝐾(2,1)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏε

⎫½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

(𝑥₂-𝑥₁)²

ε

-

𝑖

ℏ

ε𝑉

⎧

⎪

⎩

𝑥₂-𝑥₁

2

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

,

(10.38)

что можно проверить прямой подстановкой в уравнение (10.36). Если мы возьмём произведение большого числа записанных в таком виде ядер и перейдём к пределу, одновременно устремляя ε к нулю и неограниченно увеличивая число сомножителей, то в итоге получим интеграл по траекториям, определяющий ядро для некоторого конечного промежутка времени. Решение уравнения (10.34) можно построить тем же самым способом. Для бесконечно малого интервала 𝑢₂-𝑢₁=η оно получается заменой ε=-𝑖η в выражении (10.38). Таким образом,

𝐾

(𝑥

₂

,η;𝑥

₁

,0)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πηℏ

⎫½

⎪

⎭

×

×

exp

⎧

⎨

⎩

-

(𝑚/2η)(𝑥₂-𝑥₁)²+η𝑉[(𝑥₂-𝑥₁)/2]

ℏ

⎫

⎬

⎭

.

В том, что это выражение действительно является решением уравнения (10.34), можно убедиться непосредственной подстановкой.

Функции, определённые для последовательных значений 𝑢, строятся по тому же правилу, что и ядра для последовательных интервалов времени, т.е.

𝑘(2,1)

=

∫

𝑘(3,2)

𝑘(3,1)

𝑑𝑥

₃

.

(10.40)

Справедливость последнего следует из того факта, что выражение (10.33) представляет собой первую производную по 𝑢. Этим правилом можно воспользоваться, чтобы получить интеграл по траекториям, определяющий 𝑘(2,1):

𝑘(𝑥

₂

,𝑢

₂

;𝑥

₁

,𝑢

₁

)

=

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

-

_𝑁-1

∑

^𝑖=0

⎡

⎢

⎣

𝑚

2ℏη

(𝑥

_𝑖+1

-𝑥

_𝑖

)

2

𝑁-1

+

+

η

ℏ

𝑉(𝑥

_𝑖

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

_𝑁-1

∏

^𝑖=0

𝑑𝑥_𝑖

𝑎

.

(10.41)

Нормировочную константу следует теперь выбрать в виде

𝑎

=

⎧

⎪

⎩

2πℏη

𝑚

⎫½

⎪

⎭

,

(10.42)

и интеграл вычисляется по всем траекториям, проходящим из точки 𝑥₁ в точку 𝑥₂ (т.е. 𝑥_𝑖 равно 𝑥₁ при 𝑖=0 и 𝑥₂ при 𝑖=𝑁) на отрезке 𝑢₂-𝑢₁=𝑁η.

Результат всех этих рассуждений заключается в следующем: если «траекторию» 𝑥(𝑢) рассматривать как некую функцию, связывающую значения координаты и параметра 𝑢, и если обозначить через 𝑥̇ производную 𝑑𝑥/𝑑𝑢, то матрица плотности выразится в виде

ρ(𝑥

₂

,𝑥

₁

)

=

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

-

1

ℏ

_βℏ

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑥̇²(𝑢)

+

𝑉(𝑥)

⎤

⎥

⎦

𝑑(𝑢)

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.43)

Этот результат очень примечателен, поскольку поведение квантовомеханической системы полностью определяется здесь интегралом по траекториям, причём не появляется вездесущая мнимая единица 𝑖, столь характерная для квантовой механики (между прочим, этого не будет и в случае системы, движущейся в магнитном поле). Интеграл (10.43) намного удобнее в обращении, и его значительно легче интерпретировать наглядно, чем рассмотренные выше комплексные интегралы. Здесь легко видеть, например, почему некоторые трактории дают очень малый вклад в интеграл: для них отрицательный показатель экспоненты велик по модулю и потому подынтегральная функция ничтожно мала. Кроме того, отпадает необходимость в размышлениях о взаимной компенсации соседних траекторий; в данном случае все они суммируются совершенно равноправно, независимо от величины их вкладов.

Параметр 𝑢 ни в каком смысле не является реальным физическим временем. Он представляет собой лишь параметр в выражении для матрицы плотности ρ. Однако мы можем, если хотим воспользоваться аналогией, считать 𝑢 временем для некоторой траектории и интерпретировать выражение (10.43) весьма наглядным образом. По сути дела, мы подыскиваем физическую аналогию для математического выражения; будем называть 𝑢 «временем» в кавычках, которые должны напоминать нам, что это не есть физическое время (хотя 𝑢 и в самом деле имеет размерность времени). Подобным же образом назовём 𝑥̇ «скоростью», 𝑚𝑥̇/2 —«кинетической энергией» и т.д. В этом смысле выражение (10.43) утверждает, что матрица плотности, соответствующая температуре 1/β, образуется следующим образом:

Рассмотрим все возможные траектории («движения»), посредством которых система может переходить между начальной и конечной конфигурациями за «время» βℏ матрица плотности является суммой вкладов от каждого такого движения, причём вклад отдельного движения равен делённому на ℏ интегралу по «времени» от «энергии» для рассматриваемой траектории.

Если мы выберем только те случаи, когда конечная конфигурация совпадает с начальной, и просуммируем по всем начальным конфигурациям, то получим функцию распределения.

Задача 10.1. Покажите, что матрица плотности в случае гармонического осциллятора имеет вид

ρ(𝑥',𝑥)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2πℏ sh ωβℏ

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

-

𝑚ω

2πℏ(sh ωβℏ)²

×

×

[

(𝑥²+𝑥'²)

ch ωβℏ

-

2𝑥𝑥'

]

⎫

⎬

⎭

.

(10.44)

Сравните это выражение с результатами задачи 3.8. Покажите также, что свободная энергия равна 𝓀𝑇 ln [2sh(ℏω)/2𝓀𝑇]. Последнюю величину проверьте прямым вычислением суммы (10.2).