Квантовая механика и интегралы по траекториям

Это выражение описывает амплитуду вероятности определённого движения частицы, причём поле также совершает определённый переход из одного состояния в другое. Как и все другие амплитуды вероятности, эта амплитуда представляет собой сумму по всем возможным альтернативам. Каждая отдельная альтернатива выражается произведением амплитуды 𝑇[𝐀,φ], относящейся к движению частицы в некотором поле с определёнными потенциалами 𝐀 и φ, и амплитуды вероятности exp(𝑖𝑆₃/ℏ) того, что значения потенциалов поля именно таковы; суммирование производится по всем возможным полям 𝐀 и φ.

Этот закон, выраженный математически соотношением (9.104), является фундаментальным принципом всей квантовой электродинамики. Его формулировка остаётся в силе даже тогда, когда функционал 𝑇[𝐀,φ], т.е. амплитуду движения частицы во внешнем поле (𝐴,φ), нельзя представить в виде интеграла по траекториям. Так, например, для релятивистской частицы со спином, описываемой уравнением Дирака, этот функционал нельзя выразить в виде простого интеграла по траекториям с какой-либо разумной функцией действия. Однако выражение для функционала 𝑇[𝐀,φ] можно получить и с помощью других методов, например из уравнения Дирака, а затем найти амплитуду 𝐾 из соотношения (9.104).

Формулируя основной закон квантовой электродинамики (9.104), мы рассматривали поведение электромагнитного поля отдельно от поведения частицы (или системы частиц), с которой это поле взаимодействует. Сам факт, что такое разделение может быть проделано, является весьма важным результатом. Например, функционал 𝑇[𝐀,φ] может быть связан с поведением атомного ядра, свойства которого известны неполностью. Однако для квантового решения электродинамических задач нам вполне достаточно знать лишь поведение этого ядра в известном внешнем поле.

Разумеется, для непосредственного применения формулы (9.104) необходимо знать функционал 𝑇 при всех значениях переменных 𝐀 и φ; к сожалению, такая подробная информация редко имеется в нашем распоряжении. Но и тогда, когда мы располагаем точным выражением для функционала, само вычисление интеграла по траекториям может вызвать трудности. Все же практически эта формула очень полезна. В некоторых случаях функционал 𝑇 может быть аппроксимирован экспонентой типа (9.99) с линейной зависимостью показателя от переменных 𝐀 и φ. Тогда интересующий нас результат следует непосредственно из общих выражений (9.100) и (9.101). Чаще функционал 𝑇 можно представить в виде суммы или интеграла экспонент, зависящих от различных величин ρ и 𝐣; тогда формула (9.104) приобретает вид соответствующей суммы или интеграла от выражений, содержащих экспоненту exp [(𝑖/ℏ)𝐉], где 𝐉 определяется соотношением (9.101) после подстановки надлежащих значений ρ и 𝐣.

В большинстве практически важных случаев функционал 𝑇 можно представить в виде степенного ряда по потенциалам 𝐀 и φ. Если считать влияние поля на движение частицы достаточно малым, то несколько первых членов этого разложения могут быть вычислены методами теории возмущений. Найдя таким образом функционал, подставим его в (9.104) и проинтегрируем по 𝐀 и φ; в результате получится разложение амплитуды 𝐾 по возмущениям (по степеням параметра 𝑒²/ℏ𝑐). Необходимые для этого интегралы вида

∫

𝐴

_𝑖

(𝐑

₁

,𝑡

₁

)

𝐴

_𝑗

(𝐑

₂

,𝑡

₂

)

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑆

₃

(𝐀,φ)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝐀

𝒟φ

=

=

2ℏδ

₊

[

(𝑡

₁

-𝑡

₂

)²

𝑐²

-

|𝐑

₁

-𝐑

₂

|²

]

можно вычислить, разлагая по степеням ρ и 𝐣 выражения (9.100) и (9.101), а затем сравнивая соответствующие члены. Мы не будем углубляться в эти вопросы квантовой электродинамики и отсылаем интересующегося читателя к работе [7].

Глава 10

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В предыдущих главах мы рассмотрели переходы системы из одного известного состояния в другое. Однако для большинства реальных физических ситуаций начальное состояние полностью не определено: система может с некоторой вероятностью пребывать в различных таких состояниях. Тогда и конечное состояние является в такой же степени неопределённым, поскольку набору исходных ситуаций отвечает набор возможных результатов процесса с соответствующими вероятностями. С другой стороны, нас может интересовать не вероятность определённого результата, а распределение вероятностей целого набора таких результатов.

Особенно интересным случаем статистичности состояний является тепловое равновесие при некоторой температуре 𝑇. Квантовомеханическая система, находясь в тепловом равновесии, занимает определённый энергетический уровень. Как показано в квантовой статистике, вероятность найти систему в состоянии с энергией 𝐸 пропорциональна exp(-𝐸/𝓀𝑇), где 𝓀𝑇 — температура в естественных энергетических единицах (коэффициент перехода 𝓀, называемый постоянной Больцмана, равен 1,38047×10^-16 эрг/град, или 1 эв на 11606° К).