Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

Ричард Филлипс Фейнман , Ю. Л. Обухов

Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода

⎡

⎢

⎣

2πℏ

𝐿𝑐

⎤½

⎥

⎦

∫

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_част

⎫

⎪

⎭

∫

𝑗

_1𝐋

exp(𝑖𝐿𝑐𝑡)

𝑑𝑡

𝒟𝑞

(9.96)

Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия 𝑆'_част применить полное эффективное действие 𝑆'_част=𝑆_част+𝐼.

Выше было показано, что введение действия 𝐼 приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.

§ 8. Краткие выводы

Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты.

Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегущих волн для наших целей являются лишь техническими приёмами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91). Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия

𝑆

₁

(𝐪)

𝑆

₂

(𝐪,𝐀,φ)

𝑆

₃

(𝐀,φ)

(9.97)

где член 𝑆₁(𝐪) относится к веществу, член 𝑆₂ — к взаимодействию вещества и поля, а член 𝑆₃ — лишь к полю. Символом 𝐪 обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами 𝐀 и φ. Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа

𝐾

∫

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

[

𝑆

₁

(𝐪)

𝑆

₂

(𝐪,𝐀,φ)

𝑆

₃

(𝐀,φ)

]

⎫

⎬

⎭

𝒟𝐪

𝒟𝐀

𝒟φ

(9.98)

причём вопрос о граничных условиях задачи остаётся открытым.

Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т.е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращённо обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной 𝐪, а лишь после этого по 𝐀 и φ. То, что мы делали до сих пор, соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по 𝐀 и φ, а в качестве заключительного шага по 𝐪.

Обычно действие 𝑆₂(𝐪,𝐀,φ) линейно зависит от переменных поля 𝐀 и φ и может быть записано в виде

𝑆

₂

∫

[

ρ(𝐑,𝑡)

φ(𝐑,𝑡)

𝐣(𝐑,𝑡)

⋅

𝐀(𝐑,𝑡)

]

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

(9.99)

где ρ и 𝐣 — соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от 𝐪. Тогда интеграл по 𝐀 и φ в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется.

Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно даёт нам значение этого интеграла, а именно

_вак

∫

^вак

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

⎡

⎢

⎣

𝑆

₃

(𝐀,φ)

∫

(ρφ-𝐣⋅𝐀)

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐀

𝒟φ

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝐽

⎫

⎪

⎭

(9.100)

где действие 𝐽, которое в формуле (9.91) мы обозначали как 𝐼+𝑆_𝑐, равно

𝐽

𝑖

∫

[𝑐²

ρ(𝐑

₁

,𝑡

₁

)

ρ(𝐑

₂

,𝑡

₂

)

𝐣(𝐑

₁

,𝑡

₁

)

⋅

𝐣(𝐑

₂

,𝑡

₂

)

]δ

₊

[

(𝑡

₁

-𝑡

₂

)²

𝑐²

|𝐑

₁

-𝐑

₂

|²

]

𝑑³𝐑

₁

𝑑³𝐑

₂

𝑑𝑡

₁

𝑑𝑡

₂

(9.101)

для любых функций ρ и 𝐣, зависящих от 𝐑 и 𝑡. В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).

Функции ρ и 𝐣, которые входят в соотношение (9.98), зависят от 𝐪 и 𝐪̇; поэтому мы получаем результат в виде

𝐾

_{(вак-вак)}

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

[𝑆

₁

(𝐪)+𝐽(𝐪)]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐪

(9.102)

где функционал 𝐽(𝐪) определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения ρ и 𝐣. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала 𝐽(𝐪). Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.

Общая формулировка квантовой электродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по 𝐪, то множитель exp[(𝑖/ℏ)𝑆₃] можно опустить, так как он не зависит от 𝐪. Вводя обозначение

𝑇[𝐀,φ]

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

[