Квантовая механика и интегралы по траекториям

Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный момент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тяжелее протона. Если расходящиеся интегралы обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение разности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины Δ𝑀 = 782,71 ± 0,40 кэв [25]. Массовые различия между различными частицами — протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным Σ-гиперонами и т.д.— бросают серьёзный вызов современной физике ¹) и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления. Мы не знаем, что на самом деле ошибочно: квантовая электродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершённая полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).

¹) Разработанная недавно теория SU₃- и SU₆-симметрий позволяет вычислить разности масс сильно взаимодействующих частиц (мезонов и барионов) не только для заряженных и нейтральных партнёров, но и для таких, казалось бы, совершенно различных частиц, как нуклон и Σ-гиперон или π и 𝑘-мезоны. (Подробнее см., например, монографию: В. С. Барашенков, Сечения взаимодействия элементарных частиц, М., 1966.) — Прим. ред..

§ 6. Лэмбовский сдвиг

В соответствии с уравнением Шрёдингера второй уровень атома водорода является вырожденным. Энергии уровней 2𝑝 и 2𝑠 имеют одинаковое значение. Из уравнения Дирака также следует вырождение уровней 2𝑝_½ и 2𝑝_½. В 1946 г. Лэмб и Резерфорд обнаружили, что в действительности наблюдается небольшое дополнительное расщепление, относительная величина которого равна приблизительно 3⋅10⁶, вследствие чего уровень 2𝑝_½ оказывается сдвинутым вверх на 1057,1 Мгц. Теоретики предсказывали, что такая разность энергий может возникать из-за эффектов, обусловленных членом 𝐼, однако вплоть до работы Бете и Вайскопфа в 1947 г. бесконечности в расходящихся интегралах сводили на нет все попытки вычислить эту разность. Бете и Вайскопф рассуждали следующим образом.

Прежде всего, поскольку

1

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

=

1

ℏ𝑘𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

-

1

ℏ𝑘𝑐

,

(9.72)

энергия (9.71) представляет собой сумму трёх членов:

δ𝐸

=

δ𝐸'

+

δ𝐸''

+

δ𝐸'''

,

(9.73)

где

δ𝐸'

=

2π𝑒²

𝑚²𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

 

∑

^𝑁

×

×

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

)

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

,

(9.74)

δ𝐸''

=

-

2π𝑒²

𝑚²𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

 

∑

^𝑁

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

,

(9.75)

δ𝐸'''

=

2π𝑒²ℏ

𝑚𝑐

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘

.

(9.76)

Член δ𝐸''' и бесконечность, связанная с кулоновским членом δ𝐸_𝑐, не зависят от состояния электрона. Они будут (мы надеемся на это) конечными в будущей теории. К массе покоя электронов эти члены дают поправку δ𝑚. Если 𝑚₀ — механическая масса (т.е. масса неэлектромагнитного происхождения), то реально наблюдаемая экспериментальная масса 𝑚=𝑚₀+δ𝑚, где δ𝑚𝑐²=δ𝐸'''+δ𝐸_𝑐.

Такую поправку к энергии покоя, составляющей часть полной энергии атома водорода, можно было, конечно, ожидать заранее, однако мы учитываем её автоматически, если все энергии связи измеряются относительно энергии полностью ионизованного состояния, когда все частицы свободны. Поправка δ𝑚 относится к покоящемуся электрону, и она совершенно не зависит от его движения или от каких-либо характеристик состояния, в котором находится этот электрон.

Выражение для δ𝐸''' можно вычислить из суммы по 𝑁 которая в соответствии с правилами матричного умножения даёт выражение (𝑝²₁+𝑝²₂)_𝑀𝑀. После интегрирования по всем направлениям вектора 𝐤 отсюда получается член ³/₂(𝐩⋅𝐩)_𝑀𝑀 и, следовательно,

δ𝐸''

=-

(𝐩⋅𝐩)_𝑀𝑀

2𝑚

8π𝑒²

3𝑚𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

.

(9.77)

Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии 𝑝²/2𝑚₀ следовало бы заменить выражением

𝑝²

2𝑚

≈

𝑝²

2𝑚₀

⎧

⎪

⎩

1-

δ𝑚

𝑚₀

⎫

⎪

⎭

,

(9.78)