Квантовая механика и интегралы по траекториям

Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона. В этом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности,— к массе δ𝑚=δ𝐸_𝑅/𝑐². Это и есть так называемая электромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если 𝑀 и 𝑁 — импульсы электрона соответственно в состояниях 𝐩_𝑀 и 𝐩_𝑁, то матричный элемент [𝐩₁ exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)_𝑁𝑀] всегда равен нулю, за исключением случая 𝐩_𝑁=𝐩_𝑀-𝐤 он равен 𝐩_1𝑁 Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка δ𝐸_𝑅 здесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выражении (9.71).

Затруднения с короткими волнами. Однако это ещё не все. Когда мы выделяли в 𝑆_𝑐 член, содержащий ρ_𝑘ρ_𝑘/2𝑘², уже указывалось, что этот член соответствует взаимодействию точечных зарядов

½

 

∑

^𝑖,𝑗

𝑒

_𝑖

𝑒

_𝑗

|𝑞

_𝑖

-𝑞

_𝑗

|

^-1

,

однако не было отмечено, что при этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с 𝑖=𝑗. Действительно, для отдельной частицы ρ_𝑘=𝑒 exp(𝑖𝐤⋅𝐪), поэтому ½|ρ_𝑘|²/𝑘² = 4π𝑒²/2𝑘² и в выражение 𝑆_𝑐 войдёт интеграл 4π𝑒²∫(½𝑘²)𝑑³𝑘/(2π)³. Здесь и выше в δ𝐸_𝑅 расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьёзной трудностью: интегралы по импульсу 𝑘 оказываются квадратично расходящимися, квантовая электродинамика даёт бессмысленный результат.

Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не изменяется) не избавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при этом измениться.

Для частицы с нулевым спином, подобной π-мезону, степень расходимости не изменяется и по-прежнему остаётся квадратичной. Здесь, однако, мы имеем возможность определить экспериментальное значение поправки к массе. Насколько известно, заряженный и нейтральный π-мезоны различаются только зарядом, т.е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других взаимодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального π-мезонов (их массы равны соответственно 𝑚_π = 273,2 и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно 0,034 𝑚_π = 4,6 Мэв, т.е. равно энергии, заключённой в электромагнитном поле.

Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом 𝑘_макс (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае ℏ𝑘_макс/𝑐≫𝑚_π значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное 𝑒²(𝑘_макс)²/2π𝑚_π𝑐. Если это значение приравнять величине 𝑚_π±-𝑚_π0 = 0,034 𝑚_π𝑐², т.е. положить (𝑒²/2πℏ𝑐)(ℏ𝑘_макс/𝑚_π𝑐)² = 0,034, то для 𝑘_макс получим оценку

𝑘

_макс

≈

5,4𝑚_π𝑐

ℏ

≈

0,8𝑀𝑐

ℏ

,

где 𝑀 — масса протона. (Релятивистская теория даёт Δ𝐸 = 0,034𝑚_π при обрезании приблизительно на том же значении 𝑘_макс). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, большими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел. Эти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны λ которых меньше чем 10^-14 см.

Согласно теории Дирака, электрон, спин которого равен ½, должен обладать определённым магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию. Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмически. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнёра.