Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 9.8. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состоянии 1𝐤, все множители в волновой функции имеют вид φ₀, за исключением одного, равного φ₁. Для осциллятора при этом выполняется равенство φ₁(𝑞)=𝑞φ₀(𝑞). Волновая функция, представляющая возбуждённую волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбуждённой косинусоидальной модой и 2) умноженной на 𝑖 волновой функции состояния с возбуждённой синусоидальной модой. Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1𝐤 имеет вид 𝑎*_1𝐤Φ₀. Она не нормирована. Квадрат нормировочной постоянной ∫Φ*₀𝑎_1𝐤𝑎*_1𝐤Φ₀ (или ожидаемое значение величины 𝑎_1𝐤𝑎*_1𝐤 для вакуума), как мы видели в предыдущей, задаче, есть ℏ/2𝑘𝑐. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде √2𝑘𝑐/ℏ𝑎*_1𝐤Φ₀.

§ 4. Взаимодействие поля с веществом

С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:

амплитуда

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑆

_част

+𝑆

_взаим

+𝑆

_поле

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

 

∏

^𝑖,𝐤

×

×

𝒟𝐪

_𝑖

𝒟𝑎

_1𝐤

𝒟𝑎

_2𝐤

.

(9.44)

Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.

Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует 𝑆_взаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).

Если пренебречь функцией действия 𝑆_взаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями Ψ_𝑁(𝐪) имеют энергии 𝑒_𝑁, где 𝑁=0, 1, 2 …, а символом 𝐪 обозначены радиусы-векторы 𝐪_𝑖 всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений 𝑛_1𝑘 и 𝑛_2𝑘.

Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны

𝐸

=

𝑒

_𝑁

+

 

∑

^𝐤

(

𝑛

_1𝐤

+

𝑛

_2𝐤

)

ℏ𝑘𝑐

.

(9.45)

Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения

Ψ

=

ψ

_𝑁

(𝐪)

Φ(𝑛

_1𝐤

,𝑛

_2𝐤

)

,

(9.46)

где Φ(𝑛_1𝐤,𝑛_2𝐤) — волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).

Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне 𝑀, а внешних фотонов нет совсем (все числа 𝑛_1𝐤 и 𝑛_2𝐤 равны нулю). Соответствующая волновая функция равна

Ψ

_𝑖

=

ψ

_𝑀

(𝐪)

Φ

₀

,

(9.47)

где Φ₀ берётся в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне 𝑁 и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом 𝐥 и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид 𝑎*_1𝑙Φ₀, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть

Ψ

_𝑓

=

⎧

⎪

⎩

2𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

Ψ

_𝑁

(𝐪)

𝑎

_*

^1𝑙

Φ

₀

(9.48)

Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент 𝑉_𝑓𝑖 возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид

𝑉

=

√

4π

∑

(

𝑎

_*

^1𝐤

𝑗

_1𝐤

+

𝑎

_1𝐤

𝑗

_*

^1𝐤

),

^𝐤

(9.49)

где, как и в задаче 9.2, ток 𝑗_1𝐤 зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен

𝑉

_𝑓𝑖

=

∫

ψ

_*

^𝑁

Φ

*

0

⎧

⎪

⎩

2𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

𝑎

_1𝑙

×

×

∑

√

4π

(

𝑎

*

1𝐤

𝑗

_1𝐤

+

𝑎

_1𝐤

𝑗

*

1𝐤

)

ψ

_𝑀

Ψ

₀

𝑑𝑞

∏

𝑑𝑎

_1𝐤

,

^𝐤

^𝐤

(9.50)

или, в другом виде,

𝑉

_𝑓𝑖

=

 

∑

^𝐤

⎧

⎪

⎩

8π𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

∫

Φ

*

0

𝑎

_1𝑙

𝑎

*

1𝐤

Φ

₀

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

∫

ψ

_*

^𝑁

𝑗

_1𝐤

ψ

_𝑀

𝑑𝑞

+

+

 

∑

^𝐤

∫

⎧

⎪

⎩

8π𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

Φ

*

0

𝑎

_1𝑙

𝑎

_1𝐤

Φ

₀

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

∫

ψ

_*

^𝑁

𝑗

_*

^1𝐤

ψ

_𝑀

𝑑𝑞

,

(9.51)

так как от координат 𝑞 здесь зависит только ток 𝑗. Ожидаемые значения произведения величин 𝑎 для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл

∫

Φ

*

𝑎

𝑎

_1𝑙

𝑎

*

1𝐤

Φ

₀

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

=0

есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при 𝑘=𝑙, когда он равен ℏ/2𝑙𝑐. Обозначим матричный элемент ∫ψ*_𝑁𝐣ψ_𝑀𝑑𝑞 как (𝐣)_𝑁𝑀. Тогда матричный элемент - 𝑉_𝑓𝑖 запишется в виде √2πℏ/𝑙𝑐(𝑓_1𝑙)_𝑁𝑀. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]

⎧

⎪

⎩

2π

ℏ

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

2πℏ

𝑙𝑐

⎫

⎪

⎭

|𝑗

_1𝑙

|

2

𝑁𝑀

δ(

𝐸

_𝑀

-

𝐸

_𝑁

-

ℏ𝑙𝑐

).

(9.52)