Квантовая механика и интегралы по траекториям

Тот факт, что 𝑛-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность 𝑛 «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают. Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание до того, как мы начнём описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел 𝑛_𝑗 отличны от нуля лишь два (например, 𝑛_𝑎=1, 𝑛_𝑏=1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии 𝑎, а другой — в состоянии 𝑏. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии 𝑏, а второй — в состоянии 𝑎. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим конкретный пример. Пусть мы имеем две α-частицы, координаты которых обозначим соответственно через 𝑥 и 𝑦; состояние частицы 𝑥 будем описывать функцией 𝑓(𝑥), а частицы 𝑦 — функцией 𝑔(𝑦). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: 𝑥 и 𝑦:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

.

(9.36)

Обратной ситуации, когда частица 𝑦 находится в состоянии 𝑓, а частица 𝑥 — в состоянии 𝑔, соответствует другая волновая функция:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

,

(9.37)

которая, вообще говоря, отличается от первой. Но если наши частицы полностью тождественны, как это имеет место в случае α-частиц, то эти два состояния неразличимы. Мы уже говорили в гл. 1, что в квантовой механике должно быть правило (не зависящее от уравнения Шрёдингера), согласно которому амплитуды для двух случаев, различающихся лишь перестановкой α-частиц, всегда следует суммировать. При этом система описывается единственной волновой функцией

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

+

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

(9.38)

(нормированной соответствующим образом: если 𝑓 и 𝑔 ортонормальны, то нормировочная константа равна 1/√2; если же они равны и нормированы, то эта константа равна ½). Вообще ψ(𝑥,𝑦)=ψ(𝑦,𝑥) для α-частиц и всех других частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Система двух таких частиц всегда описывается единственным образом, и при этом не различается, какая именно из них находится в состоянии 𝑓, а какая в состоянии 𝑔.

Нетрудно видеть, что все наши выводы согласуются между собой, если мы будем рассматривать набор возбуждённых состояний осциллятора как набор фотонов, а сами фотоны считать бозе-частицами. Тогда единичное состояние 𝑛_𝑎=1, 𝑛_𝑏=1 соответствует ситуации, когда имеются два фотона — один в состоянии 𝑎, а другой в состоянии 𝑏. Их перестановка не приводит к новому состоянию.

Для электронов с параллельными спинами или для других тождественных ферми-частиц амплитуды, наоборот, вычитаются:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

-

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

.

(9.39)

Волновая функция системы двух ферми-частиц всегда антисимметрична: ψ(𝑥,𝑦)=-ψ(𝑦,𝑥). Поэтому такая система не безразлична по отношению к перестановке частиц. В самом деле, если в формуле (9.39) положить 𝑓=𝑔, то получим ψ(𝑥,𝑦)=0. К фотонам и α-частицам это не относится; подобный случай у фотонов соответствует состояниям осциллятора с 𝑛=2.

Можно указать один частный случай, когда с помощью некоторой идеализации электромагнитное поле в присутствии вещества удаётся описать ненамного сложнее, чем поле в вакууме. Это случай полого резонатора (или волновода), стенки которого можно считать идеально проводящими. Как хорошо известно из классической теории, при этом возникает набор мод с более или менее сложным распределением электромагнитных полей. Классическая функция действия и в этом случае сводится к функции действия для совокупности свободных осцилляторов, но переменные здесь представляют собой амплитуды различных мод, а не амплитуды плоских бегущих волн. Далее эти осцилляторы квантуются, и можно говорить о числе фотонов, соответствующем каждой моде.

§ 3. Основное состояние

Энергия вакуума. Состояние электромагнитного поля с наинизшей возможной энергией, которое мы будем называть основным или вакуумным,— это состояние, в котором у всех осцилляторов все 𝑛 равны нулю и нет фотонов никаких мод. Это значит, что энергия каждого осциллятора равна ℏω/2, где ω — его собственная частота. Если теперь просуммировать эту энергию основного состояния по бесконечному числу всех возможных мод с возрастающей частотой (а число мод не ограничено даже для резонатора конечных размеров), то подобная сумма будет расходиться. Мы натолкнулись на первую из трудностей, которые появляются в квантовой электродинамике.

В нашем случае (для вакуумного состояния) эта трудность легко устранима. Предположим, что при измерении энергии мы выбираем различные начала отсчёта. Так как постоянная добавка ко всем энергиям не приводит ни к каким физическим эффектам, то произвольный выбор нулевого значения энергии не будет влиять на результаты любого проводимого нами эксперимента. Поэтому мы положим энергию вакуумного состояния равной нулю. Тогда полная энергия произвольного состояния электромагнитного поля определится формулой

𝐸

=

∑

𝑛

_𝑗

ℏω

_𝑗

,

^𝑗

(9.40)