Квантовая механика и интегралы по траекториям

— действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;

𝑆

₃

=

1

8π

∫

(𝐸²-𝐵²)

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

=

=

1

8π

∫

⎡

⎢

⎣

⎪

⎪

⎪

-𝛁φ-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

⎪²

⎪

⎪

-

|𝛁×𝐀|²

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

(9.26)

— действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции 𝐀(𝐑,𝑡), φ(𝐑,𝑡) и 𝐪_𝑖(𝑡).

Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (δ𝑆=0 с точностью до первого порядка в разложении по δ𝑞). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия δ𝑆=0 в первом порядке вариаций по переменным 𝐀 и φ.

Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных 𝐚_𝐤, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия 𝑆₃ даёт

𝑆

₃

=

1

2

∫

⎧

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

𝐚̇

_𝐤

+

𝑖𝐤

φ_𝐤

√4π

-𝑐²

|𝐤×𝐚

_𝐤

|²

⎪²

⎪

⎪

⎫

⎪

⎭

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

=

=

1

2

∫

⎧

⎪

⎩

φ

₂

^𝐤

𝑘²

4π

+

𝐚̇

_*

^𝐤

⋅

𝐚̇

_𝐤

-

𝑘²𝑐²

𝐚

_*

^𝐤

⋅

𝐚

_𝐤

⎫

⎪

⎭

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.27)

а действие 𝑆₂ при этом принимает вид

𝑆

₂

=

∫

(

ρ

_-𝐤

φ

_𝐤

-√

4π

𝐣

_-𝐤

⋅

𝐚

_𝐤

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

.

(9.29)

После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала φ_𝐤=4πρ_𝑘/𝑘² члены, содержащие φ_𝐤, дают в сумме

𝑆

_𝑐

=-

4π

2

∫

ρ_𝐤ρ_-𝐤

𝑘²

𝑑³𝐤

(2π)³

=-

1

2

 

∑

^𝑖

 

∑

^𝑗

𝑒_𝑖𝑒_𝑗

|𝐪_𝑖-𝐪_𝑗|

.

(9.29)

Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла ∫(4π/𝐤²)[exp(𝑖𝐤⋅𝐑)]𝑑³𝐤=1/𝑅. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением.

Включим его в функцию действия для частиц

𝑆

_част

=

𝑆

₁

+

𝑆

_𝑐

=

∫

 

∑

^𝑖

⎧

⎪

⎩

𝑚_𝑖

2

𝑞̇

₂

^𝑖

-

1

2

 

∑

^𝑗

𝑒_𝑖𝑒_𝑗

|𝐪_𝑖-𝐪_𝑗|

⎫

⎪

⎭

(9.30)

и запишем 𝑆=𝑆_част+𝑆_взаим+𝑆_поле. Таким образом мы разделили действие 𝑆₃ для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием 𝑆_поле, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия 𝑆₃ выбросить члены, содержащие φ_𝐤. В результате получим

𝑆

_поле

=

∫

(

𝑎̇

_*

^1𝐤

𝑎̇

 

^1𝐤

-

𝑘²𝑐²

𝑎

_*

^1𝐤

𝑎

 

^1𝐤

+

𝑎̇

_*

^2𝑘

𝑎̇

 

^2𝑘

-

𝑘²𝑐²

𝑎

_*

^2𝑘

𝑎

 

^2𝑘

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.31)

а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно

𝑆

_взаим

=

√

4π

∫

(

𝑗

_1,-𝐤

𝑎

_1𝐤

+

𝑗

_2,-𝐤

𝑎

_2𝐤

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

.

(9.32)

Простая вариация полного действия 𝑆 по переменным 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤 даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).

В развёрнутом виде действие 𝑆_взаим записывается так:

𝑆

_взаим

=

√

4π

 

∑

^𝑗

∫

(

𝑎

_1𝐤

𝑞̇

_1𝑗

+

𝑎

_2𝐤

𝑞̇

_2𝑗

)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐪_𝑗(𝑡)}

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.33)

где 𝑞_1𝑗 и 𝑞_2𝑗 — поперечные (по отношению к вектору 𝐤) компоненты вектора 𝑞_𝑗. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие 𝑆, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными 𝐪_𝑗(𝑡), 𝑎_1𝐤(𝑡), 𝑎_2𝐤(𝑡). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты 𝑒^𝑖𝑆/ℏ и рассматривается в § 2.

§ 2. Квантовая механика поля излучения

Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения

𝑆

=

𝑆

_поле

(9.34)

которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию 𝑆 для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).

Предположим, что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению 𝐤 в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией 1 и 2 и частотой ω=𝑘𝑐. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой 𝑎_1𝐤) возможные энергетические уровни будут равны

𝐸

_1𝐤

=

⎧

⎪

⎩

𝑛

_1𝐤

+

1

2

⎫

⎪

⎭

ℏ𝑘𝑐

,

(9.35)

где 𝑛_1𝐤 — произвольное положительное целое число или нуль.

Если 𝑛_1𝐤=1, то говорят, что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсом ℏ𝑘. В общем случае мы имеем 𝑛_1𝐤 таких фотонов, и энергия каждого из них равна ℏ𝑘𝑐.

Задача 9.5. Пусть импульс электромагнитного поля задаётся в виде (1/4π𝑐)∫𝐄×𝐁𝑑(объём). Покажите, что в вакууме (при этом φ_𝐤=0 последнее выражение равно ∫𝐤(𝐚*_𝐤⋅𝐚̇_𝐤)𝑑³𝐤/(2π)³.

Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией ℏω. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотезой Планка.