Квантовая механика и интегралы по траекториям

[так как 𝛁×(𝛁×𝐀) = 𝛁(𝛁⋅𝛁)-𝛁²𝐀]. Таким образом, каждая компонента вектора 𝐀 удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам

𝐀(𝐑,𝑡)

=

𝐚

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

(9.12)

то уравнение для амплитуды 𝐚_𝐤 запишется как 𝐚̈_𝐤; отсюда следует, что каждая компонента 𝐚_𝐤 — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой ω=𝑘𝑐. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора 𝐚_𝐤 в направлении 𝐤 должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

𝐤⋅𝐚

_𝐤

=0.

(9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению 𝐤 будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы 𝐄, 𝐁 и 𝐤 взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы 𝐀 и φ, а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

𝐀(𝐑,𝑡)

=

√

4π

𝑐

∫

𝐚

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

φ(𝐑,𝑡)

=

∫

φ

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

𝐣(𝐑,𝑡)

=

∫

𝐣

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

ρ(𝐑,𝑡)

=

∫

ρ

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

(9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду 𝑒, находящемуся в точке 𝐪(𝑡) в момент времени 𝑡, имеет вид

ρ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

=

𝑒

δ[𝑥-𝑞

_𝑥

(𝑡)]

δ[𝑦-𝑞

_𝑦

(𝑡)]

δ[𝑧-𝑞

_𝑧

(𝑡)]

=

𝑒

δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]

.

Покажите, что фурье-образ плотности заряда

ρ

_𝑘

=

𝑒

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐪(𝑡)}

.

(9.15)

Легко видеть, что плотность тока 𝐣(𝐑,𝑡) равна 𝑒𝐪̇(𝑡)δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]. Если мы имеем систему зарядов 𝑒_𝑖, расположенных в точках 𝐪_𝑖(𝑡), то выражения для ρ_𝐤 и 𝐣_𝐤 запишутся в виде

ρ

_𝐤

=

 

∑

^𝑖

𝑒

_𝑖

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐪_𝑖(𝑡)}

,

𝐣

_𝐤

=

 

∑

^𝑖

𝑒

_𝑖

𝐪̇(𝑡)

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐪_𝑖(𝑡)}

.

(9.16)

При этом условие (9.13) остаётся справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора 𝐁 равен 𝐁_𝐤=√4π𝑐𝑖(𝐤×𝐚_𝐤), соответствующий коэффициент для вектора 𝐄 равен 𝐄_𝐤=-𝑖𝐤φ_𝐤-√4π𝐚̇_𝐤, наконец, коэффициент разложения 𝛁⋅𝐄 имеет вид 𝑖𝐤⋅𝐄_𝐤=𝑘²φ_𝑘, поэтому

𝑘²φ

_𝑘

=

4πρ

_𝑘

(9.17)

или φ_𝑘=4πρ_𝑘/𝑘². Функция φ_𝑘 полностью определяется плотностью заряда ρ_𝑘, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, φ̈_𝐤.

Задача 9.3. Докажите, что соотношение φ_𝑘=4πρ_𝑘/𝑘² означает следующее: величина φ_𝑘 в любой момент времени 𝑡 представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность ρ соответствует некоторой совокупности зарядов 𝑒_𝑖, отстоящих на расстояние 𝑟_𝑖 от некоторой точки, то потенциал φ в этой точке равен

∑

𝑒

_𝑖

/𝑟

_𝑖

.

^𝑖

Именнов этом и заключается смысл уравнения (9.10).

Уравнение (9.3), которое нужно ещё решить, запишем в виде

𝑖𝐤×𝐁

_𝐤

=

1

𝑐

𝐄̇

_𝐤

+

1

𝑐

4π

𝐣

_𝐤

.

(9.18)

При этом учтём, что 𝑖𝐤×𝐁_𝐤 = -√4π𝑐𝐤×(𝐤×𝐚_𝐤) = √4π𝑐𝑘²𝐚_𝐤 и 𝐄̇_𝐤 = -𝑖𝐤φ̇_𝐤 -√4π𝐚̈_𝐤. Далее, применив равенство (9.17), заменим φ̇_𝐤 на 4πρ̇_𝐤/𝑘² и будем иметь

𝐚̈

_𝐤

+

𝑘²𝑐²

𝐚

_𝐤

=

√

4π

⎧

⎪

⎩

𝐣

_𝐤

-

𝑖𝐤ρ̇_𝐤

𝑘²

⎫

⎪

⎭

=

√

4π

𝐣'

_𝐤

,

(9.19)

где величину 𝐣'_𝐤 = 𝐣_𝐤-𝑖𝐤ρ̇_𝐤/𝑘² можно назвать поперечной частью тока 𝐣_𝐤. Из закона сохранения тока (9.6) следует, что ρ̇_𝐤=-𝑖𝐤⋅𝑗_𝐤, поэтому

𝐣'

_𝐤

=

𝐣

_𝐤

-

𝐤(𝐤⋅𝐣_𝐤)

𝑘²

.

(9.20)

Последнее равенство означает, что 𝐣'_𝐤 равно разности тока 𝐣_𝐤 и его компоненты по направлению вектора 𝐤. Очевидно, 𝐤⋅𝐣'_𝐤=0.

Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора 𝐤 вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору 𝐤, и обозначить компоненты 𝐚_𝐤 по этим направлениям как 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤, то уравнения Максвелла запишутся в виде

𝑎̈

_1𝐤

+

𝑘²𝑐²

𝑎

_1𝐤

=

√

4π

𝑗

_2𝐤

,

(9.21)

𝑎̈

_2𝐤

+

𝑘²𝑐²

𝑎

_2𝐤

=

√

4π

𝑗

_2𝐤

,

(9.22)

где 𝑗_1𝐤 и 𝑗_2𝐤 — компоненты вектора тока 𝐣_𝐤 по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора 𝐣_𝐤, а не вектора 𝐣'_𝐤).

Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике ¹) предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который даёт нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму

𝑆

=

𝑆

₁

+𝑆

₂

+𝑆

₃

.

(9.23)

¹) Следует указать, что ряд физиков применяет термин «квантовая электродинамика» в более широком смысле, включая в это понятие теорию электрон-позитронных пар. Мы не занимаемся этой проблемой и поэтому слова «квантовая электродинамика» означают здесь просто теорию квантования электромагнитного поля.

Здесь

𝑆

₁

=

 

∑

^𝑖

𝑚_𝑖

2

∫

|𝐪̇

_𝑖

|²

𝑑𝑡

(9.24)

— действие для всех частиц без учёта поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие 𝑆₁);

𝑆

₂

=

∫

⎡

⎢

⎣

ρ(𝐑,𝑡)

φ(𝐑,𝑡)

-

1

𝑐

𝐣(𝐑,𝑡)

⋅

𝐀(𝐑,𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

=

=

 

∑

^𝑖

𝑒

_𝑖

∫

⎧

⎨

⎩

φ(𝐪

_𝑖

(𝑡),𝑡)

-

1

𝑐

𝐪̇

_𝑖

(𝑡)

⋅

𝐀(𝐪

_𝑖

(𝑡),𝑡)

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

(9.25)