Квантовая механика и интегралы по траекториям

Таким образом, мы полностью решили задачу о гармоническом осцилляторе, на который действует внешняя сила. В гл. 9 мы ещё раз вернёмся к этой проблеме и используем полученные здесь результаты.

Глава 9

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В этой главе исследуется взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. Мы уже рассмотрели один пример такого взаимодействия в § 6 гл. 7, где переменные электромагнитного поля входили в потенциальную часть лагранжиана; переменные поля представлялись там векторным потенциалом 𝐀. При этом мы имели дело лишь с движением частиц в некотором заданном поле; очевидно, что при таком подходе нельзя ничего сказать о том, как возникает само поле 𝐀, или о том, как движущиеся частицы влияют на него. Другими словами, постановка задачи не включала в себя никакого исследования динамики поля. Подобный подход, основанный на использовании заданных потенциалов, конечно, является приближением. Он оправдан, когда размеры установок, с помощью которых создаются потенциалы, настолько велики, что движение частиц никак не влияет на величину потенциалов.

Теперь мы будем интересоваться не только влиянием потенциалов на движение частиц, но и влиянием самих частиц на потенциалы. Начнём с классического подхода и применим для описания электромагнитного поля уравнения Максвелла; они выражают параметры поля через плотности зарядов и токов окружающего вещества.

В предыдущих главах мы уже видели, что квантовомеханическое описание некоторых классических систем легко дать в тех случаях, когда классические законы можно выразить на языке принципа наименьшего действия. Так, если экстремальное значение действия 𝑆, варьируемого по некоторой переменной 𝑞, приводит к классическим уравнениям движения, то соответствующие квантовомеханические законы выражаются следующим образом: амплитуда вероятности некоторого заданного события, соответствующая действию 𝑆, равна интегралу по траекториям от функции 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, взятому по всем возможным путям изменения переменной 𝑞, при которых выполнены условия осуществления данного события.

Для такого подхода крайне существенно, что основные законы классической электродинамики, выражаемые уравнениями Максвелла, тоже могут быть сформулированы с помощью принципа наименьшего действия. Пусть существует действие 𝑆, которое можно представить через векторный и скалярный потенциалы 𝐀 и φ; определение экстремального значения этого действия при варьировании его по переменным поля φ(𝐫,𝑡) и 𝐀(𝐫,𝑡) приводит к формулировке электромагнетизма, эквивалентной уравнениям Максвелла. Тогда, рассуждая по аналогии, мы будем искать законы квантовой электродинамики, исходя из правила: амплитуда вероятности какого-либо события равна

𝐾(2;1)

=

₂

∫

¹

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝐀,φ]}

𝒟𝐀(𝐫,𝑡)

𝒟φ(𝐫,𝑡)

,

(9.1)

где интеграл по траекториям берётся по всем значениям потенциалов 𝐀 и φ в каждой точке пространства — времени и вдоль всех путей, удовлетворяющих определённым граничным условиям в начальной и конечной мировых точках события.

§ 1. Классическая электродинамика

Уравнения Максвелла. Начнём изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.

Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид

𝛁⋅𝐄

=

4πρ

,

(9.2)

𝛁×𝐁

=

1

𝑐

⎧

⎪

⎩

∂𝐄

∂𝑡

+

4π𝐣

⎫

⎪

⎭

,

(9.3)

𝛁⋅𝐁

=

0,

(9.4)

𝛁×𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

(9.5)

где 𝐄 — напряжённость электрического поля, 𝐁 — напряжённость магнитного поля, 𝑐 — скорость света, 𝐣 — плотность тока и ρ — плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т.е. когда

𝛁⋅𝐣

=-

∂ρ

∂𝑡

.

(9.6)

Из уравнения (9.4) следует, что пока 𝐁 можно записать как ротор некоторого вектора 𝐀:

𝐁

=

𝛁×𝐀

.

(9.7)

Это соотношение ещё не полностью определяет вектор 𝐀, однако эту неоднозначность можно устранить, полагая

𝛁⋅𝐀

=0.

(9.8)

Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырёхмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины 𝛁⋅𝐀 скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).

Подставив 𝐄+(1/𝑐)(∂𝐀/∂𝑡) в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала

𝐄

=

-𝛁φ-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

(9.9)

Уравнения (9.2) — (9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что

𝛁⋅𝐄

=

-∇²φ

=

4πρ

.

(9.10)

Если ρ=0, то φ=0 и 𝐄=-(1/𝑐)(∂𝐀/∂𝑡). При этом из уравнения (9.3), если 𝐣=0, следует

∇²𝐀

-

1

𝑐²

∂²𝐀

∂𝑡²

=0

(9.11)