Квантовая механика и интегралы по траекториям

В квантовой механике имеется и другой тип уравнений, принципиально отличный от всех рассмотренных выше. Примером может служить система линейных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Эта система приводит к волновому уравнению, вполне аналогичному тому, что мы уже вывели для звука, однако в этом случае имеют место совершенно другие поляризационные свойства. Подобно тому, как в трубе органа образуются стоячие волны, электромагнитное поле в замкнутом объёме также имеет, если его рассматривать классически, набор фундаментальных мод. Отсюда естественно предположить, что эти колебания квантованы и каждая мода определяется энергетическим уровнем, превышающим основное состояние системы на Δ𝐸=ℏω𝑛 и т.д. Это — основное предположение квантовой электродинамики. Нельзя сказать, что такой вывод строго следует из уравнения Шрёдингера, потому что электромагнитное поле не понимается здесь в смысле длинноволнового приближения к среде, имеющей атомную структуру. Сегодня мы уже не думаем о какой-то специальной среде для подобного рассмотрения электромагнитного поля, а считаем, что уравнения Максвелла описывают некий фундаментальный закон природы. Мы просто предполагаем, что они квантуются и именно тем простым способом, который описан выше. В гл. 9 обсудим этот вопрос более подробно.

Гипотеза о квантуемости электромагнитных полей согласуется со всеми экспериментами, проделанными до сих пор, хотя здесь имеются и некоторые теоретические трудности. Они связаны с необходимостью распространения этой схемы на моды, соответствующие очень малым длинам волн. При этом возникают различные эффекты, которые приводят к расходимости интегралов, если интегрирование по длинам волн распространяется вплоть до нуля. Подобные же трудности появляются и в рассмотрении вибраций кристалла при попытке исследовать область очень коротких волн, где длины их оказываются сравнимы с межатомными расстояниями, т.е. когда приближение непрерывности уже непригодно. Тогда мы просто отказываемся от такого приближения и этим ограничиваем число нормальных мод в кристалле конечного объёма; в то же время в электродинамике количество мод в любом объёме бесконечно.

Для обозначения мод различных полей обычно используются разные названия. Кванты звука или колебаний в кристалле обычно называются фононами, кванты в теории электромагнитного поля — фотонами, в теории мезонных полей — мезонами и т.д. Даже электроны можно представлять себе в виде возбуждений поля, но это поле будет совсем непохоже на те, которые мы до сих пор рассматривали. Его обычно называют ферми-полем; частицы при этом подчиняются принципу исключения и лагранжиан квантуется не путём перехода к набору гармонических осцилляторов, как это делалось выше, а несколько иным способом. Частицы, возникающие при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов, обычно называются бозе-частицами; они подчиняются симметричной статистике (статистике Бозе). Это означает, что если две частицы имеют соответственно волновые числа 𝑖₁ и 𝑖₂, то для них существует только одно состояние и нет такого состояния, где первой соответствовало бы значение 𝑖₂, а второй — значение 𝑖₁. Это ясно из того, что наше поле имеет только одно состояние, в котором моды имеют волновые числа 𝑖₁ и 𝑖₂ и возбуждены до их первых уровней. Такое состояние определяется энергией ℏω₁+ℏω₂, и здесь бессмысленно задавать вопрос: если поменять эти частицы местами, то какой из них соответствует возбуждение? В гл. 9 обсудим этот вопрос более детально на примере фотонов электромагнитного поля.

Задача 8.7. Считают, что нейтральные частицы с нулевым спином (подобные π⁰-мезонам) в свободном состоянии можно представить полем φ с лагранжианом

𝐿

=

∫

1

2

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

∂φ

∂𝑡

⎫²

⎪

⎭

-

𝑐²|𝛁φ|²

+

μ²𝑐⁴

ℏ²

φ

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

,

(8.133)

где μ— некоторая константа.

Покажите, что это поле имеет квантовые состояния, соответствующие волнам exp (𝑖𝐤⋅𝐫) с энергией возбуждения

ℏω

=

(ℏ²𝑖²𝑐²+μ²𝑐

⁴

)

^½

.

(8.134)

Если ℏ𝐤=𝐩 рассматривать как импульс кванта, энергия запишется в виде

𝐸

=

(|𝐩|²𝑐²+μ𝑐

⁴

)

^½

.

(8.135)

Это релятивистская формула для энергии частицы с импульсом 𝐩 и массой μ (отметим, что для малого 𝑝² можно приближённо положить 𝐸=μ𝑐²+𝑝²/2μ+…, т.е. 𝐸 равно энергии покоя μ𝑐² плюс кинетическая энергия 𝑝²/2μ).

Состояние поля, когда мода с волновым числом 𝐤₁ возбуждена до второго квантового уровня, мода 𝐤₂ — до первого и т. д., мы будем интерпретировать как состояние системы, имеющей две частицы с импульсом ℏ𝐤₁ одну с импульсом ℏ𝐤₂ и т. д. За основное принимается состояние, в котором нет ни одной частицы; оно называется состоянием вакуума. Переход осцилляторов поля на возбуждённые уровни и обратно соответствует рождению и аннигиляции частиц; именно таким образом эти процессы и рассматриваются в релятивистской квантовой теории.

§ 9. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила