Квантовая механика и интегралы по траекториям

В трёхмерном кристалле тоже можно с хорошим приближением использовать модель непрерывной среды. При этом решёточная структура кристалла, вообще говоря, заменяется на непрерывную, а особенности решётки проявляются в различии свойств непрерывной среды по направлениям (например, в анизотропии сжимаемости). Симметрия решётки находит своё выражение в симметрии констант упругости. Более того, направления колебаний (поляризация) мод не обязательно будут параллельны или перпендикулярны направлению распространения волны.

В нашем рассмотрении будем предполагать, что система обладает одинаковыми постоянными упругости по всем направлениям (вообще говоря, в произвольном кристалле это необязательно, даже если он симметричен подобно кубическому кристаллу). В этом случае у нас будут возникать колебания двух видов: продольные и поперечные, с различной скоростью, которую мы обозначим через 𝑐_𝐿 для продольных и через 𝑐_𝑇 для поперечных волн. Каждому 𝐤 соответствуют три моды. Одна из них имеет частоту ω_𝐿=𝑐_𝐿𝑘 (𝑘 — модуль вектора 𝐤). Поскольку, по предположению, направление волны не влияет на её частоту, то последняя будет функцией лишь абсолютной величины волнового числа 𝑘, не зависящей от направлений; поэтому возникают две поперечные моды (т.е. такие, когда движения атомов перпендикулярны направлению движения волны), причём обе имеют одинаковую частоту ω_𝑇=𝑐_𝑇𝑘.

Каждая отдельная мода, которой соответствует определённое направление поляризации, ведёт себя подобно независимому осциллятору.

Предположим, что мы имеем дело с кристаллом объёма 𝑉. Попробуем подсчитать количество мод, волновые числа которых лежат в элементарном 𝑘-объёме 𝑑³𝐤=𝑑𝑘_𝑥𝑑𝑘_𝑦𝑑𝑘_𝑧 и около значения 𝐤. Мы предполагаем кристалл прямоугольным с длинами граней 𝐿_𝑥, 𝐿_𝑦 и 𝐿_𝑧. Применив результаты, полученные в одномерном рассмотрении, видим, что дискретные величины 𝑘_𝑥 различаются друг от друга на 2π/𝐿_𝑥, так что в интервале 𝑑𝑘_𝑥 имеется 𝑑𝑘_𝑥𝐿

_𝑥/2π дискретных значений 𝑘_𝑥. Применяя те же самые соображения к другим направлениям, мы найдём, что число дискретных значений 𝐤 во всем объёме 𝑑³𝐤 составляет

𝑑𝑘_𝑥𝑑𝑘_𝑦𝑑𝑘_𝑧

(2π)³

𝐿

_𝑥

𝐿

_𝑦

𝐿

_𝑧

=

𝑑³𝐤

(2π)³

𝑉

.

(8.117)

Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.

В общем случае модовая частота ω_𝑘, как мы уже упоминали, является очень сложной функцией 𝐤, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же 𝐤, но её определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача, сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.

В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твёрдом теле (т.е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путём, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу — приближению непрерывной среды.

Полное решение такой задачи определило бы нам все эффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомеханический аналог приближения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинноволновому пределу, оказывается в квантовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом. Лагранжиан в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию — переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид.

Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть 𝑢(𝐫,𝑡) выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть 𝐫. Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволновой области, и, следовательно, мы можем применить приближение непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид

𝐔(𝐤,𝑡)

=

 

∫

^𝑉

𝐮(𝐫,𝑡)

𝑒

^𝑖𝐤𝐫

𝑑³𝐫

,

(8.118)

где 𝐫 — пространственный вектор с компонентами 𝑥, 𝑦, 𝑧. Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением 𝐔 и направлением вектора 𝐤, т.е. координата 𝑈_𝑥(𝐤,𝑡) вектора 𝐔 не обязательно представляет нормальную моду. Для изотропной среды три моды, определяемые вектором 𝐤, имеют следующие нормальные координаты:

𝑈

₁

(𝐤,𝑡)

=

𝐤⋅𝐔

𝑘

(8.119)

(т.е. компоненту 𝑈 в направлении 𝑘)

𝑈

₂

(𝐤,𝑡)

𝐞

₁

⋅𝐔

,

(8.120)

𝑈

₃

(𝐤,𝑡)

𝐞

₂

⋅𝐔

,

(8.121)