Квантовая механика и интегралы по траекториям

Движение, описываемое решением (8.108), где коэффициент 𝑎 определяется формулой (8.110), соответствует бегущей волне, движущейся со скоростью 𝑐, т.е., говоря точнее, 𝑐 определяет скорость, с какой распространялся бы звук вдоль этой цепочки атомов. На самом же деле в системе наблюдается дисперсия, т.е. ω не будет пропорциональна 𝑘. Для длин волн порядка атомных расстояний, подобное отклонение от пропорциональности будет уже существенным, что видно из выражения (8.90).

§ 6. Квантовомеханическое рассмотрение цепочки атомов

Мы видели, что поведение цепочки атомов можно представить набором мод движения, где каждая мода соответствует одному гармоническому осциллятору. Энергетическое состояние каждого такого осциллятора задаётся некоторым квантовым числом его моды. Каждой моде отвечает одно волновое число 𝑘 и своя частота ω. Энергия моды частоты ω принимает значения ℏω/2, 3ℏω/2, 5ℏω/2, … или 0, ℏω, 2ℏω/2, …, если отсчитывать её от основного уровня ℏω/2. В этом случае можно сказать, что в колебании присутствуют 0, 1, 2, … фононов с волновым числом 𝑘 (или с частотой ω).

Возможно, что одновременно будет возбуждаться несколько различных мод. Например, мы можем иметь: 1) моду с волновым числом 𝑘₁, которая будет возбуждена до первого уровня, если отсчитывать от её основного, т.е. нулевого, состояния; 2) моду с волновым числом 𝑘₂, возбуждённую также до своего первого уровня; 3) моду с волновым числом 𝑘₃, возбуждённую до своего второго уровня.

Тогда состояние всей системы будет соответствовать полной энергии ℏ(ω₁+ω₂+2ω₃). В этом случае говорят, что в системе присутствуют четыре фонона: один фонон с волновым числом 𝑘₁, один — с волновым числом 𝑘₂ и два с волновым числом 𝑘₃.

Основное состояние всей системы будет иметь энергию

𝐸

_осн

=

 

∑

^𝑘

ℏω_𝑘

2

.

(8.111)

Если воспользоваться приближением непрерывной среды и положить ω=𝑘𝑐, то это выражение приобретает вид

𝐸

_осн

=

𝐿

2π

_𝑘макс

∫

⁰

ℏ𝑘𝑐

2

𝑑𝑘

.

(8.112)

Заметим, что если верхний предел 𝑘_макс в этом интеграле устремить к бесконечности, то интеграл станет расходящимся. Однако равенство ω=𝑘𝑐, которое мы здесь использовали, выполняется только в случае длинных волн (т.е. для малых значений 𝑘).

Можно уточнить величину энергии основного состояния, применив точное выражение для частоты ω и подобрав разумный верхний предел в интеграле по 𝑘. Так, выбрав ω_𝑘

в виде (8.90), получим для энергии основного состояния значение

𝐸

_осн

=

𝑘=𝑘_макс

∫

𝑘=-𝑘_макс

ℏ

2

ν sin

𝑘𝑑

2

,

(8.113)

где

𝑘

_макс

=

2π

𝑑

.

(8.114)

Это можно переписать в виде

_𝑛=𝑁/2

∑

^𝑛=-𝑁/2

ℏν

⎪

⎪

⎪

sin

π𝑛

𝑁

⎪

⎪

⎪

2ℏν

(𝖨𝗆)

_𝑁/2

∑

^𝑛=0

𝑒

^{𝑖π𝑛/𝑁}

.

(8.115)

Для очень больших 𝑁 этот результат можно аппроксимировать выражением

𝐸

_осн

=

2ℏ𝑐𝐿

1

π𝑑²

.

(8.116)

Отсюда видно, что энергия пропорциональна длине нашей системы и неограниченно растёт, когда межатомное расстояние 𝑑 стремится к нулю, т.е. энергия основного состояния в случае непрерывной среды не определена. Понятно, что для реальных объектов энергия всегда имеет конечное значение.

Обычно очень удобно измерять вместо самой полной энергии системы разность между ней и энергией основного состояния. В пользу этого можно высказать два соображения: 1) на самом деле энергия основного состояния неизвестна, да и не представляет интереса для большинства физических задач (например, в энергию основного состояния входят энергии всех электронов, налетающих на атом); 2) когда мы имеем дело лишь с возбуждением длинных волн, приближение непрерывной среды оказывается очень полезным и даёт хорошие оценки энергии возбуждения. Однако это же приближение даёт неразумный результат для энергии основного состояния, поскольку мы пренебрегаем расстоянием между атомами 𝑑 (т.е. полагаем 𝑑=0). Таким образом, если мы пользуемся приближением непрерывной среды, то должны избегать вычислений энергии основного состояния.

§ 7. Трёхмерный кристалл

В принципе нет большого различия между реальным трёхмерным кристаллом и рассмотренным нами одномерным примером. Однако теперь конкретное вычисление различных модовых частот будет намного сложнее. Можно снова применить понятие о волновом числе 𝐤, которое теперь уже оказывается вектором с компонентами 𝑘_𝑥, 𝑘_𝑦 и 𝑘_𝑧. Частоты, если записать их через эти компоненты, вообще говоря, будут иметь очень сложный вид. Благодаря наличию поляризации (различных направлений колебаний) для каждого значения 𝐤 получим несколько решений. Далее, реальный кристалл часто состоит не из массива равномерно расположенных атомов, но скорее из единичных ячеек, причём каждая такая ячейка сама содержит группу атомов, размещающихся в пространстве по некоторому геометрическому закону. Если в такой единичной ячейке содержится, скажем, 𝑝 атомов, то этот пример можно иллюстрировать одномерной моделью; тогда в целом у нас имеется набор из 3𝑝 значений частот для каждой величины 𝐤.