Квантовая механика и интегралы по траекториям

Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Выше мы уже видели, что условием такой ситуации является 𝑘𝑑≪1. Если обозначить произведение ν𝑑=𝑐, то для малых 𝑘𝑑. имеем ω≈𝑘𝑐. В этом случае можно представлять себе координаты 𝑞_𝑗 как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т.е. определять смещение 𝑗-го атома, как это показане на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения 𝑞(𝑥_𝑗) и 𝑞(𝑥_𝑗+1) приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию 𝑞(𝑥) как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке. Нормальная координата 𝑄_𝑘 является фурье-образом функции 𝑞(𝑥), т.е. уравнение (8.88) можно заменить на

𝑄(𝑘)

=

√𝑁

𝐿

_𝐿

∫

⁰

𝑞(𝑥)

𝑒

^𝑖𝑘𝑥

𝑑𝑥

.

(8.91)

Эта замена основывается на приближённом соотношении

_𝑁

∑

^𝑗=1

( )

_𝑗

≈

𝑁

𝐿

_𝐿

∫

⁰

( )

𝑑𝑥

,

(8.92)

которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно

_𝑁

∑

^𝑘=1

( )

_𝑘

≈

𝐿

2π

_2π/𝑑

∫

⁰

( )

𝑑𝑘

,

(8.93)

приводит нас к обратному преобразованию

𝑞(𝑥)

=

𝐿

2π√𝑁

_2π/𝑑

∫

⁰

𝑄(𝑘)

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑥}

𝑑𝑘

.

(8.94)

Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения 𝑗-го атома равным 𝑢_𝑗

, т.е. 𝑞_𝑗=√𝑚𝑢_𝑗, где 𝑚 — масса атома, равная ρ𝑑. Пусть 𝑈 — фурье-образ величины 𝑢, т.е.

𝑈(𝑘)

=

_𝐿

∫

⁰

𝑢(𝑥)

𝑒

^𝑖𝑘𝑥

𝑑𝑥

;

(8.95)

тогда обратное преобразование даст

𝑢(𝑥)

=

1

2π

_∞

∫

^-∞

𝑈(𝑘)

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑥}

𝑑𝑘

.

(8.96)

Нормальной координатой теперь будет 𝑈(𝑘); через прежнюю нормальную координату 𝑄(𝑘) она выражается так:

𝑈(𝑘)

=

√𝑚𝐿

√𝑁

𝑄(𝑘)

.

(8.97)

Выражение для кинетической энергии, куда входит величина 𝑢(𝑥,𝑡), можно получить с помощью соотношения (8.92):

кинетическая энергия=

1

2

∫

ρ

⎧

⎪

⎩

∂𝑢

∂𝑡

⎫²

⎪

⎭

𝑑𝑥

.

(8.98)

Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов, как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать

𝑞

_𝑖+1

-𝑞

_𝑖

=

√

𝑚

[

𝑢(𝑥

_𝑖+1

,𝑡)

-

𝑢(𝑥

_𝑖

,𝑡)

]

≈𝑑

√

𝑚

∂𝑢

∂𝑥

.

(8.99)

Это означает, что потенциальная энергия равна

𝑉

=

ν²𝑑²

2

𝑚

𝑑

_𝐿

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

∂𝑢

∂𝑥

⎫²

⎪

⎭

𝑑𝑥

=

ν𝑐²

2

_𝐿

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

∂𝑢

∂𝑥

⎫²

⎪

⎭

𝑑𝑥

.

(8.100)

В последнем равенстве используем константу 𝑐=ν𝑑, которую принято называть коэффициентом упругости. Определить её физически можно следующим образом. Предположим, что мы растягиваем цепочку атомов, которая имеет длину 𝐿, и при этом единичный элемент удлиняется на отрезок ε, т.е. новая длина системы составит 𝐿(1+ε). (Мы рассматриваем статическое растяжение, а не вибрацию.) Это означает, что расстояние между каждой парой атомов увеличится до 𝑑(1+ε) и, следовательно, разность смещений смежных атомов будет равна

𝑞

_𝑖+1

-𝑞

_𝑖

=

ε

𝑑√

𝑚

.

(8.101)

Используя выражение (8.66), мы получаем величину потенциальной энергии, запасённой в струне при растяжении

𝑉

=

ν²

2

ε²

𝑑²

𝑚𝑁

=

ρ𝑐²

2

ε²

𝐿

.

(8.102)

Таким образом, в пределе при малом е сила, необходимая для растяжения струны, равна

𝑉

ε𝐿

=

ρ𝑐²

ε

.

(8.103)

Последнее равенство даёт напряжение в струне, когда деформация {растяжение на единицу длины) равна ε. Итак, мы имеем

напряжения

деформация

=

ρ𝑐²

=

постоянная упругости

.

(8.104)

Комбинируя выражения (8.98) и (8.100), можно записать лагранжиан так:

𝐿

=

ρ

2

∫

⎧

⎪

⎩

∂𝑢

∂𝑡

⎫²

⎪

⎭

𝑑𝑥

-

ρ𝑐²

2

∫

⎧

⎪

⎩

∂𝑢

∂𝑥

⎫²

⎪

⎭

𝑑𝑥

.

(8.105)

Фундаментальные моды, которые мы здесь рассматриваем, имеют вид exp (𝑖𝑘𝑥), а нормальные координаты имеют вид 𝑈(𝑘,𝑡). Читатель может самостоятельно показать, что если выразить лагранжиан через эти нормальные координаты, то получится

𝐿

=

ρ

2

∫

⎡

⎢

⎣

∂𝑈(𝑘,𝑡)

∂𝑡

⎤²

⎥

⎦

𝑑𝑘

2π

-

ρ𝑐²

2

∫

𝑘²𝑈²(𝑘,𝑡)

𝑑𝑘

2π

.

(8.106)

Систему, которая описывается этим лагранжианом, можно интерпретировать как некий набор гармонических осцилляторов; при этом каждому осциллятору соответствует своё значение 𝑘. В принятом нами приближении непрерывной среды 𝑘 является непрерывной переменной, пробегающей бесконечное число значений. Можно было бы снова вернуться к картине дискретного расположения атомов, вспомнив, что интеграл по 𝑑𝑘 на самом деле является суммой по дискретным значениям 𝑘, причём соседние значения 𝑘 отличаются друг от друга на величину 2π/𝐿 (𝐿 — длина струны), а общее число их равно числу атомов в системе.

Уравнения движения можно выразить в непрерывных переменных, если найти экстремум для интеграла действия

_𝑇

∫

⁰

𝐿

𝑑𝑡

.

Используя лагранжиан 𝐿 из выражения (8.105), получаем

ρ

∂²𝑢

∂𝑡²

=

ρ𝑐²

∂²𝑢

∂𝑥²

.

(8.107)

С помощью рассуждений, подобных выводу соотношения (8.99), можно показать, что это уравнение аналогично ранее полученному уравнению движения (8.68). Уравнение (8.107) имеет решение

𝑢

=

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑎(𝑥)

,

(8.108)

в точности совпадающее с выражением (8.71), где

-ω²𝑎

=

𝑐²

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑎

𝑑𝑥

⎫²

⎪

⎭

,

(8.109)

и в полном соответствии с выражениями (8.70) и (8.74)

𝑎(𝑥)

=

𝑒

^𝑖𝑘𝑥

.

(8.110)

Сопоставляя между собой (8.109) и (8.110), мы видим, что частота ω=𝑘𝑐 аналогична частоте, определяемой выражением (8.90), которое фактически сводится к этому значению в пределе при малых 𝑘.