Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям полностью

Квантовая механика и интегралы по траекториям

где 𝐞₁ и 𝐞₂ — два единичных вектора, перпендикулярных и 𝐤, и между собой. Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определённым соотношением (8.119), и не будем обращать внимания на поперечные колебания.

Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде

𝐿

∭

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

∂𝑈₁(𝐤,𝑡)

∂𝑡

⎤²

⎥

⎦

𝑐²𝑘²

[

𝑈

₁

(𝐤,𝑡)

]²

⎫

⎬

⎭

𝑑³𝐤

(2π)³

(8.122)

Мы ввели здесь скорость звука 𝑐=ω/𝑘, которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8.122) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных 𝐮(𝐫,𝑡) лагранжиан запишется так:

𝐿

∭

⎡

⎢

⎣

⎪

∂𝐮

∂𝑡

⎪²

⎪

𝑐²

(𝛁⋅𝐮)²

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

(8.123)

Первый член в правой части этого выражения — кинетическая энергия, равная половине массы, умноженной на квадрат скорости. Второй член выражает энергию сжатия, определяемого дивергенцией 𝛁⋅𝐮 (деформация сжатия). Энергию поперечной деформации мы здесь не рассматриваем, поскольку пренебрегаем поперечными волнами.

Варьируя лагранжиан по 𝑢, получаем классическое уравнение движения:

𝑐²

∂²𝐮

∂𝑡²

-𝛁(𝛁⋅𝐮)

(8.124)

Если мы определим деформацию сжатия как дивергенцию 𝑢, т.е. как

𝛁⋅𝐮

(8.125)

то уравнение перепишется в виде

𝑐²

∂²φ

∂𝑡²

∇²φ

(8.126)

что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.

Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐫), параллельную вектору 𝐤, получим

𝑐²

∂²𝑈₁

∂𝑡²

𝑘²𝑈

₁

(8.127)

Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что 𝑈₁(𝐤,𝑡) действительно является нормальной координатой.

Из лагранжиана, записанного в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину Δ𝐸=𝑛ℏ(𝑘𝑐) выше энергии основного состояния.

Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат 𝐮(𝐫,0), к состоянию с другой системой координат 𝐮(𝐫,𝑇). Эта амплитуда имеет вид

𝐾[

𝐮(𝐫,𝑇),𝑇

;

𝐮(𝐫,0),0

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖ρ

2ℏ

_𝑇

∫

⁰

_𝐿𝑧

∫

⁰

_𝐿𝑦

∫

⁰

_𝐿𝑥

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

⎪

∂𝐮

∂𝑡

⎪²

⎪

𝑐²

(𝛁⋅𝐮)²

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟³

𝐮(𝐫,𝑡)

(8.128)

Интегрирование распространяется здесь на траектории 𝐮(𝐱,𝑡), выраженные через все три компоненты вектора 𝐫 и время 𝑡. Конечно, совершенно необязательно требовать, чтобы функция 𝐮(𝐫,𝑡) имела один и тот же вид и в начальном и конечном состояниях. Здесь мы приходим к интересному развитию нашей первоначальной идеи об интеграле по траекториям. До сих пор подынтегральные выражения были функционалами одной или, возможно, нескольких функций 𝑥(𝑡) одного аргумента 𝑡, а интегрирование выполнялось по всем таким траекториям (функциям). Теперь мы должны интегрировать функционал от функции 𝐮(𝐫,𝑡) четырёх аргументов 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑡 и брать интеграл по траекториям, соответствующим всем значениям этой функции. Все необходимые при этом вычисления можно выполнить с помощью описанной выше стандартной методики, поскольку подынтегральное выражение здесь, как и раньше, является гауссовым функционалом.

Первый шаг при вычислении такого интеграла заключается в отыскании траектории, приводящей к стационарному значению интеграла под знаком экспоненты, соответствующей лагранжиану (8.123) или, что более удобно, волновому уравнению (8.126). Мы должны учесть граничные условия при 𝑡=0 и 𝑡=𝑇. Удовлетворить граничным условиям в данном случае не проблема, однако это несколько отличается от обычной классической задачи физики, где при 𝑡=0 значения координат и их производных, т.е. и 𝐮(𝐫,0) и (∂𝐮/∂𝑡)_𝑡=0, заданы.

Мы могли бы следовать этим путём, однако из предыдущих примеров нам уже известно, что подобную задачу лучше всего предварительно преобразовать к нормальным координатам и интегрировать по траекториям лишь потом. Такое преобразование имеет вид

𝐾

_𝑈1(𝑇)

∫

^{𝑈₀(𝑇)}

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖ρ

2ℏ

∑

^𝐤

∫

(

𝑈̇

₂

𝑘²𝑐²

𝑈

₂

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟

𝑈

₁

(𝐫,𝑡)

(8.129)

где граничные условия заданы соотношениями

𝑈

₁

(𝑇)

𝑈

₁

(𝐤,𝑇)

𝐤

𝑘

⋅

∭

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐫}

𝐮(𝐫,𝑇)

𝑑³𝐫

𝑈

₁

(0)

𝑈

₁

(𝐤,0)

𝐤

𝑘

⋅

∭

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐫}

𝐮(𝐫,0)

𝑑³𝐫

(8.130)

Мы перешли к более простому типу интеграла по траекториям, где траектория описывается лишь как функция одной переменной 𝑡. Поскольку интеграл по траекториям может быть выражен произведением нескольких таких интегралов, каждый из которых будет определять движение только для одной нормальной моды, мы видим, что подобную задачу уже решали. Результат [см. выражение (8.10)] запишется в виде

𝐾

∏

^𝐤

⎧

⎪

⎩

ρ𝑘𝑐

2π𝑖ℏ sin 𝑘𝑐𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp