Квантовая механика и интегралы по траекториям

В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т.е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые взаимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил. Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец, любые другие взаимодействия мод с внешними полями. Мы не будем здесь обсуждать проблему взаимодействия в общем случае; вместо этого рассмотрим как образец один из примеров взаимодействия атомных систем и зарядов с электромагнитным полем. Обобщение этого примера выполним в следующей главе. Другие случаи могут быть проанализированы аналогичным образом.

Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.

Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остаётся только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.

Для начала вернёмся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде

𝐿

=

𝑀

2

𝑥̇²

-

𝑀ω²

2

𝑥²

-

γ(𝑡)𝑥

,

(8.136)

где γ(𝑡) — внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при 𝑡=0, так и в конце при 𝑡=𝑇. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду 𝐾(𝑏,𝑎) вероятности перехода осциллятора из точки 𝑥_𝑎 в момент времени 𝑡=0 в точку 𝑥_𝑏 в момент 𝑡=𝑇. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода 𝐺_𝑚𝑛 для осциллятора, который первоначально находился в состоянии 𝑛, а затем в момент 𝑇 оказался в состоянии 𝑚. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.

В § 1 мы определили волновые функции φ_𝑛 для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду 𝐺_𝑚𝑛 прямыми подстановками в выражение

𝐺

_𝑚𝑛

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑚𝑇}

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

φ

_𝑚

(𝑥

_𝑏

)

𝐾(𝑥

_𝑏

,𝑇;𝑥

_𝑎

,0)

φ

_𝑛

(𝑥

_𝑎

)

𝑑𝑥

_𝑎

𝑑𝑥

_𝑏

.

(8.137)

Для случая 𝑚=𝑛=0 этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим

𝐺

₀₀

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2𝑚ωℏ

_𝑇

∫

⁰

_𝑡

∫

⁰

γ(𝑡)

γ(𝑠)

𝑒

^{-𝑖ω(𝑡-𝑠)}

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

.

(8.138)

Если 𝑚 и 𝑛 не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния 𝑓 в состояние 𝑔, если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна

𝐹(𝑏,𝑎)

=

_∞

∑

^𝑚=0

_∞

∑

^𝑛=0

𝐺

_𝑚𝑛

𝑓

_*

^𝑚

(𝑏)

𝑓

_𝑛

(𝑎)

𝑒

^{-𝑖𝐸_𝑚𝑇/ℏ}

=

=

_∞

∑

^𝑚=0

_∞

∑

^𝑛=0

𝐺

_𝑚𝑛

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑀ω

4ℏ

(𝑎²+𝑏²)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

𝑎^𝑛𝑏^𝑚

√𝑚!𝑛!

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫(𝑚+𝑛)/2

⎪

⎭

𝑒

^{-𝑖ω𝑇/2}

,

(8.139)

где 𝑀 — масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим 𝐺_𝑚𝑛, умножая 𝐹(𝑏,𝑎) на exp[(𝑀ω/4ℏ)(𝑎²+𝑏²)] и разлагая полученное выражение в ряды по степеням 𝑎 и 𝑏. Поэтому нам удобнее сперва вычислить

𝐹(𝑏,𝑎)

=

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑀ω

2ℏ

(𝑥

₂

-𝑏)²

⎤

⎥

⎦

×

×

𝐾(𝑥

₂

,𝑇;𝑥

₁

,0)

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑀ω

2ℏ

(𝑥

₁

-𝑎)²

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

,

(8.140)

где 𝐾(𝑥₂,𝑇;𝑥₁,0) — ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем

𝐹(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑀ω

4ℏ

(𝑎²+𝑏²-2𝑎𝑏𝑒

^-𝑖ω𝑇

)

+

+

𝑖

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫½

⎪

⎭

(𝑎β+𝑏β*𝑒

^-𝑖ω𝑇

)

-

-

1

2𝑀ωℏ

_𝑇

∫

⁰

_𝑡

∫

⁰

γ(𝑡)

γ(𝑠)

𝑒

^{-𝑖ω(𝑡-𝑠)}

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑒

^{-𝑖ω𝑇/2}

(8.141)

где

β

=

1

𝑀√2ω

∫

γ(𝑡)

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

,

(8.142)

β*

=

1

𝑀√2ω

∫

γ(𝑡)

𝑒

^+𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

,

(8.143)

Величины 𝐺₀₀ могут быть легко получены из выражения (8.141) подстановкой 𝑎=𝑏=0. Результат совпадает с выражением (8.138). Умножая далее на экспоненту, как описано выше, и обозначая

𝑥

=

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫½

⎪

⎭

𝑎,

𝑦

=

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫½

⎪

⎭

𝑏𝑒

^-𝑖ω𝑇

,

найдём, что

 

∑

^𝑚=0

 

∑

^𝑛=0

𝐺

_𝑚𝑛

𝑥^𝑛𝑦^𝑚

√𝑚!√𝑛!

=

[exp(𝑥𝑦+𝑖β𝑥+𝑖β*𝑦)]

𝐺

₀₀

.

(8.144)

Раскладывая правую часть в ряд по 𝑥 и по 𝑦 и сравнивая члены, получаем окончательный результат:

𝐺

_𝑚𝑛

=

𝐺₀₀

√𝑚!𝑛!

_𝑙

∑

^𝑟=0

𝑚!

(𝑚-𝑟)𝑟!

𝑛!

(𝑛-𝑟)𝑟!

𝑟!

(𝑖β)

^𝑛-𝑟

(𝑖β*)

^𝑚-𝑟

,

(8.145)

где 𝑙, равное 𝑚 или 𝑛, принимает сколь угодно большие целые значения.