Квантовая механика и интегралы по траекториям

Обычно мы не задаёмся вопросом об излучении какого-либо определённого фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол 𝑑Ω. Для этого необходимо просуммировать 𝐥 по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений 𝐥 в единице объёма есть 𝑑𝐥/(2π)³; если направление 𝐥 задано, то мы должны взять интеграл по 𝑑𝑙, записав 𝑑𝐥/(2π)³ в виде 𝑙²𝑑𝑙𝑑Ω/(2π)³. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде

𝑑𝑃

𝑑𝑡

=

∫

(2π)²

𝑙𝑐

|𝑗

_1𝑙

|

2

𝑁𝑀

δ(

𝐸

_𝑀

-

𝐸

_𝑁

-

ℏ𝑙𝑐

)

𝑙²

𝑑𝑙𝑑Ω

(2π)³

.

(9.53)

Интегрирование по 𝑙 даёт выражение

𝑑𝑃

𝑑𝑡

=

ω

2πℏ𝑐³

|𝑗

_1𝑙

|

2

𝑁𝑀

𝑑

Ω

,

(9.54)

характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению 𝐥 в телесный угол 𝑑Ω. Частота излучаемого света

ω=𝑙𝑐=

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

ℏ

.

(9.55)

Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем

(𝑗

_1𝐤

)

𝑁𝑀

=

 

∑

^𝑏

(

𝑒

_𝑏

𝐞⋅𝐪̇

_𝑏

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐪_𝑏}

)

𝑁𝑀

,

(9.56)

где 𝐞 — единичный вектор в направлении поляризации света, 𝑒_𝑏 и 𝐪_𝑏 — заряд и радиус-вектор частицы 𝑏. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т.е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона 𝑏, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем 1/𝑘. Покажите, что при этом экспоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐪_𝑏/ℏ) можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент как

𝑗

_{1𝐤,𝑁𝑀}

=

𝑖ω𝐞⋅

μ

_𝑁𝑀

,

(9.57)

где

μ

_𝑁𝑀

=

 

∑

^𝑏

(

𝑒

_𝑏

𝐪

_𝑏

)

_𝑁𝑀

.

(9.58)

Функция μ_𝑁𝑀 называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна

𝑑𝑃

𝑑𝑡

=

4ω³

3ℏ𝑐³

|

μ

_𝑁𝑀

|²

.

(9.59)

[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учётом того, что векторы 𝐞 и 𝐤 перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]

Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно это мы здесь и проделаем. Нам нужно выполнить интегрирование по всем переменным 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤 в выражении (9.44). Для этого нужно ещё задать начальное и конечное состояния поля излучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при этом можно записать как

амплитуда

=

∫

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_част}

𝑋[𝑞]

𝒟𝑞

,

(9.60)

где

𝑋[𝑞]

=

∫

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝑆_взаим+𝑆_поле)}

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

𝑑𝑎

_2𝐤

(9.61)

—функционал от переменных 𝑞, которые входят в первую часть равенства через токи 𝑗. Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды

∏

(𝑆

_1𝐤

+𝑆

_2𝐤

)

,

𝑘

где

𝑆

=

∫

⎡

⎢

⎣

√

4π

(𝑗𝑎*+𝑗*𝑎)

+

1

2

𝑎̇*𝑎̇

-

𝑘²𝑐²

2

𝑎*𝑎

-

ℏ𝑘𝑐

2

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

(9.62)

то ясно, что функционал 𝑋 представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как

𝑋

_1𝐤

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

∫

⎧

⎪

⎩

√

4π

𝑗

*

1𝐤

𝑎

_1𝐤

+

√

4π

𝑗

_1𝐤

𝑎

*

1𝐤

+

+

1

2

𝑎̇

*

1𝐤

𝑎̇

_1𝐤

-

𝑘²𝑐²

2

𝑎

*

1𝐤

𝑎

_1𝐤

ℏ𝑘𝑐

2

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑎

_1𝐤

=

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

4π

2ℏ

∫

𝑗

_1𝐤

(𝑡)

𝑗

*

1𝐤

(𝑠)

1

2𝑘𝑐

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

.

(9.63)

С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция γ(𝑡) в формуле (8.136) теперь заменяется на γ=√4π𝑗_1𝐤 и ω равно 𝑘𝑐 тогда окончательное выражение (9.63) совпадёт с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех 𝑘 и обеих поляризаций даёт функционал 𝑋=exp(𝑖𝐼/ℏ), где

𝐼=

1

2

 

∑

^𝐤

∫

[

𝑗

_1𝐤

(𝑡)

𝑗

*

1𝐤

(𝑠)

+

𝑗

_2𝐤

(𝑡)

𝑗

*

2𝐤

(𝑠)

]

4π

2𝑘𝑐

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(9.64)

Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:

амплитуда

=

∫

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝑆

_част

+𝐼)

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑞(𝑡)

.

(9.65)

Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10 ).

Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не 𝑆_част, а модифицированная функция 𝑆'_част=𝑆_част+𝐼. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.