Квантовая механика и интегралы по траекториям

Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия 𝐼 — комплексная. Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части 𝑆'_част в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений [6]).

Займёмся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для 𝐼, в котором учитывается условие запаздывания.

Первое приближение теории возмущений. Точное вычисление интеграла по 𝑞 является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии 𝐼 входит электрический заряд частиц 𝑒. Действие 𝐼 пропорционально 𝑒² или в безразмерной форме — постоянной тонкой структуры

𝑒²

ℏ𝑐

=

1

137,039

— весьма малой величине, точное значение которой берётся из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием 𝐼, малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шрёдингера даёт вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием 𝐼.

Рассмотрим эффекты, обусловленные действием 𝐼, в первом порядке по 𝑒², соответственно — во втором порядке по 𝑒, используя первоначальное выражение действия в виде (9.32). Введём λ_𝑀𝑀 — амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния 𝑀 в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от 𝐼, то в нулевом порядке будем иметь

λ

_𝑀𝑀⁰

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸}

𝑀

^𝑡

.

(9.66)

Член первого порядка

λ

_𝑀𝑀¹

=

1

ℏ

_𝑡𝑓

∫

^𝑡_𝑖

ψ

*

𝑀

(𝑞

_𝑓

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_част}

𝐼ψ

_𝑀

(𝑞

_𝑖

)

𝒟𝑞(𝑡)

=

=-

1

2ℏ

 

∑

^𝐤

∫

ψ

*

𝑀

(𝑞

_𝑓

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_част}

∫

[

𝑗

*

1𝐤

(𝑡)

𝑗

_1𝐤

(𝑠)

+

+

𝑗

*

2𝐤

(𝑡)

𝑗

_2𝐤

(𝑠)

]

4π

2𝑘𝑐

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

ψ

_𝑀

(𝑞

_𝑖

)

𝒟𝑞(𝑡)

.

(9.67)

Будем считать, что 𝑡>𝑠 это даёт коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в § 1 гл. 5. Для данного случая получаем

λ

_𝑀𝑀¹

=-

𝑖

ℏ

(

Δ

𝐸)

𝑇

𝑒

^-𝑖𝐸

𝑀

^𝑇/ℏ

,

где

Δ𝐸

=

𝑖

 

∑

^𝑁

 

∑

^𝐤

4π

2𝑘𝑐

[

(𝑗

*

1𝐤

)

_𝑀𝑁

(𝑗

_1𝐤

)

_𝑁𝑀

+

(𝑗

*

2𝐤

)

_𝑀𝑁

(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

]×

×

_∞

∫

⁰

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)τ}

𝑑τ

=

 

∑

^𝑁

4πℏ

∫

[

|(𝑗

_𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

+

+

|(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

][

2𝑘𝑐

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

-𝑘ℏ𝑐+𝑖ε)]

^-1

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.68)

Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде

Δ𝐸

=

δ𝐸

-

𝑖ℏγ

2

.

Действительная часть δ𝐸 соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом — так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет

δ𝐸

=

 

∑

^𝑁

∫

[

|(𝑗

_1𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

+

+

|(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

]

𝐏.𝐏.

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

-ℏ𝑘𝑐)

^-1

4πℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.69)

Мнимая часть Δ𝐸 имеет вид

ℏγ

2

=

 

∑

^𝑁

∫

[

|(𝑗

_1𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

+

+

|(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

]

πδ

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

-ℏ𝑘𝑐)

4πℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.70)

Амплитуда вероятности того, что атом остаётся в возбуждённом состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как exp [-𝑖(𝐸_𝑚+δ𝐸-𝑖γ/2)𝑇/ℏ] и соответствующая вероятность равна exp (-γ𝑇). Таким образом, вероятность того, что атом остаётся в состоянии 𝑀, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания γ.

Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии 𝑀 может испустить фотон и перейти в более низкое состояние 𝑁. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что γ действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑀 во все нижележащие состояния 𝑁.

§ 5. Электрон в поле излучения

Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором 𝐑 (например, атом водорода с бесконечно тяжёлым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток 𝐣=𝑒𝐑̇ exp(𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ).

В данном случае ток 𝐣 содержит 𝐑̇, поэтому в соответствии с § 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность. Поправка к энергии δ𝐸 содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости 𝑅̇². Выражая 𝐑̇ (подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 7) через оператор импульса 𝐩, получаем

δ𝐸

₁

=

 

∑

^𝑁

∫

𝑑³𝐤

2𝑘𝑐 (2π)³

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

4π𝑒²ℏ

𝑚²(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

+

4π𝑒²

𝑚

∫

ℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.71)

Задача 9.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту ½[𝐩₁ exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ) + exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)𝐩₁]?