Квантовая механика и интегралы по траекториям

а член δ𝐸''' как раз должен соответствовать добавке -(𝑝²/2𝑚₀)δ𝑚. Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шрёдингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение 𝑝²/2𝑚 с экспериментально наблюдаемой массой 𝑚. Поправка δ𝐸''' однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии ¹). Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний 2𝑠 и 2𝑝 эти поправки выпадают, так как значения δ𝐸''' и δ𝐸_𝑐 одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения δ𝐸'', поскольку для состояний 2𝑠 и 2𝑝 матричный элемент (𝑝²/2𝑚)_𝑀𝑀 один и тот же.

¹) Значение δ𝑚 которое следует из формулы (9.77), равно (8π𝑒²/3𝑐²)∫𝑑³𝑘/𝑘² и не совпадает со значением δ𝑚 из выражения δ𝐸/𝑐², соответствующего неподвижному электрону. Это происходит потому, что мы ограничиваемся нерелятивистским приближением. Если провести полностью релятивистское рассмотрение, то оба способа вычисления дают одно и то же значение δ𝑚.

При вычислении поправки δ𝐸' предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от 𝐤, и, вычислив интеграл

∫

𝑑³𝐤

𝑘²

1

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐

=

4π

ℏ𝑐

ln

ℏ𝑘_макс𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

,

(9.79)

мы получим

δ𝐸'

=

𝑒²

π𝑚²ℏ𝑐³

 

∑

^𝑀

⎡

⎢

⎣

ln

⎧

⎪

⎩

ℏ𝑘_макс𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

)

2

3

|𝐩

_𝑁𝑀

|²

.

(9.80)

Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, по которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остаётся лишь вопрос о выборе значения ℏ𝑘_макс𝑐. Бете обосновал свой выбор этого параметра тем, что нерелятивистское приближение становится несправедливым в области больших значений 𝑘, и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение ℏ𝑘_макс𝑐 оказалось бы, по-видимому, порядка 𝑚𝑐². Выбор значения ℏ𝑘_макс𝑐=𝑚𝑐² дал для сдвига 2𝑠_½- и 2𝑝_½-уровней величину, равную приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути.

Оставалось ещё сделать релятивистский расчёт, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины 𝑘_макс. Однако это оказалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистски-инвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании на стр. 280.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал , как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариантность на протяжении всего расчёта и одновременно идентифицировать все бесконечные члены. Другой метод, разработанный Фейнманом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее.

Полный эффект от действия электромагнитного поля, которой на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом 𝐼+𝑆_𝑐 в функции действия. Релятивистская инвариантность функции 𝐼, представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные 𝐤 и 𝑡, а не 𝐑 и 𝑡 или 𝐤 и ω. Выразим функцию 𝐼, используя в качестве переменных частоту ω и волновое число 𝐤. Для этого прежде всего заметим, что интеграл

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|τ|}

𝑒

^-𝑖ωτ

𝑑τ

=

2𝑖𝑘𝑐

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

,

(9.81)

или

𝑒

^{-𝑖𝑘|𝑡-𝑠|𝑐}

=

∫

2𝑖𝑘𝑐 𝑑ω/2π

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

.

(9.82)

Если определить

𝑗(𝐤,ω)

=

∫

𝑗

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^+𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

=

∬

𝑗(𝐑,𝑡)

𝑒

^{-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)}

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

,

(9.83)

то функция 𝐼 запишется в виде

𝐼

=

-2π

∫

|𝑗₁(𝐤,ω)|²+|𝑗₂(𝐤,ω)|²

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

𝑑³𝐤 𝑑ω

(2π)⁴

.

(9.84)

Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных ω и 𝐤 вполне очевидна, так как выражение ω²-𝐤²𝑐² — инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично.

Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа 𝑐²ρ²-𝐣⋅𝐣, так как величины ρ𝑐 и 𝐣 образуют четырёхмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим

ρ(𝐤,ω)

=

∫

ρ

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^+𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

=

∬

ρ(𝐑,𝑡)

𝑒

^{-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)}

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

;

(9.85)

тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде

𝑆

_𝑐

=

∫

|ρ(𝐤,ω)|²

𝑘²

𝑑ω

=

(ωρ/𝑘)²-ρ²𝑐²

ω²-𝑘²𝑐²

𝑑ω

,

(9.86)

причём последний интеграл образуется здесь умножением числителя и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на ω²/𝑘²-𝑐². Закон сохранения тока

-

-∂ρ

∂𝑡

=

𝛁⋅𝐣

(9.87)

запишется теперь как

ωρ(𝑘,ω)

=

𝐤⋅𝐣(𝐤,ω)

.

(9.88)

С другой стороны, если обозначить через 𝑗₃ компоненту вектора 𝐣 в направлении 𝐤, то 𝑗₃=ωρ/𝑘 и

𝐼+𝑆

_𝑐

=

-2π

×

×

∫

|𝑗₁(𝐤,ω)|²+|𝑗₂(𝐤,ω)|²+|𝑗₃(𝐤,ω)|²-𝑐²|ρ(𝐤,ω)|²

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

×

×

𝑑³𝐤 𝑑ω

(2π)⁴

.

(9.89)