Квантовая механика и интегралы по траекториям

На первый взгляд представляется неожиданным, что очень сложные перестановки атомов играют существенную роль. Всякий раз, когда какой-нибудь атом перемещается на соседний участок, возникает экспоненциальный множитель, содержащий соответствующее расстояние. Обозначим этот множитель через 𝑦; тогда в случае перехода на соседние участки 𝑟 атомов необходимо учитывать множитель 𝑦_𝑟, а поскольку 𝑦 при любой температуре наверняка меньше единицы, то 𝑦_𝑟 в случае больших 𝑟 может стать весьма малым. Казалось бы, что если г составляет заметную долю от полного числа атомов (в кубическом сантиметре жидкого гелия содержится 10²² атомов), то вклад от множителей вида 𝑦_𝑟 должен быть исчезающе малым. Однако это первое впечатление не учитывает того обстоятельства, что при этом возникает огромное число (𝑟!) возможных перестановок. Поэтому малость влияния отдельной перестановки компенсируется их количеством.

Другой вопрос, возникающий при описании жидкого гелия, касается типа перестановок, которые следует учитывать. Любую перестановку можно описать посредством цикла; так, перестановки 1—4, 4—7, 7—6, 6—1 образуют цикл. Вопрос состоит в следующем: длинные или короткие циклы являются существенными? Внимательное исследование показывает, что при умеренных температурах важны только простые перестановки двух атомов. С падением температуры становятся существенными циклы из трёх атомов, потом из четырёх и т.д.; но внезапно при некоторой критической температуре циклы с длиной, превышающей 𝐿, благодаря своему громадному числу компенсируют убывание величины 𝑦^𝐿. При этой температуре становятся важными очень длинные циклы, в которых участвуют почти все находящиеся в сосуде атомы. В этой точке кривая зависимости теплоёмкости от температуры терпит разрыв, и при более низких температурах жидкий гелий ведёт себя весьма удивительно: он без всякого сопротивления протекает сквозь очень тонкие трубки. Благодаря этому возникает бесконечно большая теплопроводность конечного объёма жидкости и т.д. Эти удивительные свойства представляют собой проявления квантовомеханических эффектов, в частности интерференции амплитуд при замене одного атома другим, приводящей к увеличению суммарной амплитуды. Детали поведения теплоёмкости в области температуры перехода не слишком надёжны в смысле количественного описания, но качественно причина такого перехода ясна *).

*) Более подробное обсуждение функции распределения для жидкого гелия можно найти в статье Фейнмана IPhys. Rev., 91, 1291 (1953)]. (Квантовая теория сверхтекучести была в 1947 г. разработана Н. Н.Боголюбовым [см. Вестник МГУ, 7, 43 (1947), а также монографию: Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков, Новый метод в теории сверхпроводимости, АН СССР, 1958].— Прим, ред.)

Выражение, аналогичное равенству (10.77), легко записать также и для фермионов, таких, как атомы Не³. Однако в случае жидкого гелия-3 влияние потенциала очень сильно, что не позволяет производить точные количественные расчёты. Причина этого заключена в том, что вклад каждого цикла в сумму по перестановкам будет либо положительным, либо отрицательным в зависимости от чётности числа атомов в цикле. Вклады таких циклов, как, например, 𝐿=51 и 𝐿=52, при низкой температуре приблизительно равны по модулю, а потому при суммировании они почти сокращаются. Приходится вычислять разность близких по величине членов, а это требует очень аккуратного вычисления каждого члена в отдельности. Известно, что знакопеременный ряд больших и медленно убывающих членов очень трудно суммировать, когда у вас нет точной аналитической формулы для числочлена.

Мы могли бы достичь известного прогресса, если бы в математическом описании ферми-системы можно было переходить к сумме положительных членов. Подобные преобразования были испробованы, однако получающиеся при этом выражения для членов ряда оказываются слишком сложны, чтобы оценивать их даже качественно.