Квантовая механика и интегралы по траекториям

где ω(𝐤) — частота фонона с волновым вектором 𝐤. Во всяком кристалле 𝑈 будет многозначной функцией (если в единичном объёме находится 𝑝 атомов, то существует 3𝑝ω значений для каждого 𝐤), и мы должны просуммировать по всем возможным ω. Интегрирование по 𝐤 распространяется только на конечную область, соответствующую данному кристаллу. Для фотонов каждому 𝐤 соответствуют две моды с одинаковыми частотами ω=𝑘𝑐, так что в сумме появляется множитель 2, и мы приходим к равенству (10.87), причём область интегрирования по 𝐤 становится теперь бесконечной.

Следствия из выражения (10.90), изученные в различных приближениях Эйнштейном и Дебаем, хорошо объяснили основные особенности температурной зависимости теплоёмкости и, в частности, её поведение при низких температурах, которое находилось в прямом противоречии с предсказаниями классической физики. Сегодня, подставив в выражение (10.90) более точный фононный спектр ω(𝐤), мы имеем вполне удовлетворительное описание той части теплоёмкости твёрдых тел, которая обязана колебаниям атомов.

§ 5. О формулировке основных законов теории

Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией 𝐸 пропорциональна 𝑒^{-𝐸/𝓀𝑇}, обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос.

Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см. гл. 2). Проследим теперь, к чему приведёт точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В этом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения 𝑍. В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическим интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии,— ничего из того, что было необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней 𝐸_𝑖. В заключение вернёмся к формулировке 𝑍 с использованием исходного интеграла по траекториям. Существует ли какая-нибудь возможность получить для любой равновесной системы выражение 𝑍 прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путём изменение её состояний во времени? Если да, то мы ещё це знаем, как это сделать.

Можно было бы спросить: а зачем это нужно? Это все равно что показывать своё умение плавать с заложенными за спину руками. В конце концов вы знаете, что энергетические уровни существуют. Единственным оправданием для такой попытки избавиться от их упоминания послужила бы возможность более глубокого понимания физических процессов или возможность привлечения более мощных статистических методов. Во всяком случае, разобраться в этом было бы интересно.

Отсюда и возникла идея — получить хорошо известный вариационный принцип, позволяющий вычислить наименьшую энергию системы непосредственно из исходной формулировки интеграла по траекториям, а не косвенно (из уравнения Шрёдингера). Результат излагается в гл. 11. Таким образом, плоды этих чисто академических размышлений оказались до некоторой степени и полезными, и интересными.

Однако (если так предпочтительнее) можно думать, что наша приверженность к определённому способу вычислений вызвана чисто академической заинтересованностью в методах классической физики. Пусть имеется система, подчиняющаяся принципу наименьшего действия, и её действие определено соотношением

𝑆

=

1

2

∫

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

+

𝑘

2

∫

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑎)

𝑑𝑡

,

(10.91)

так что уравнением её движения будет

𝑚𝑥̈

=

𝑘

2

[

𝑥(𝑡+𝑎)

+

𝑥(𝑡-𝑎)

].

Здесь возникает любопытная ситуация, когда на систему действует сила, зависящая от полусуммы её прошлого и будущего положений. Для уравнения (10.92) существуют экспоненциально растущие решения, но мы условимся считать допустимыми лишь те движения, при которых 𝑥 остаётся конечным и в далёком прошлом, и в отдалённом будущем. Заметим, что если закон действия сформулирован в виде δ𝑆=0, то отбрасываемые нами решения так или иначе исключаются, поскольку на все вариации траекторий накладывается условие δ𝑥→0 при 𝑡→±∞.