Квантовая механика и интегралы по траекториям

Для дальнейших вычислений можно было бы предположить разности 𝑆-𝑆' и 𝐹-𝐹' малыми и соответствующие экспоненты в обеих частях равенства разложить с точностью до величин первого порядка малости. Справедливость такого шага представляется сомнительной, так как величина β(𝐹-𝐹') не мала, если β велико. Однако сравнение членов более высокого порядка показывает, что это тем не менее оказывается хорошим приближением к величине 𝐹-𝐹'.

К тому же выводу можно прийти весьма строгим и убедительным путём. В самом деле, среднее значение экспоненты 𝑑^𝑥, где 𝑥 — независимая переменная, всегда больше или равно, чем экспонента от среднего значения 𝑥, до тех пор, пока 𝑥 — действительная величина и используемые при усреднении веса положительны, т.е.

⟨𝑒

^𝑥

⟩

≥

𝑒

^⟨𝑥⟩

,

(11.6)

где ⟨𝑥⟩ — средневзвешенное значение 𝑥. Это следует из того, что кривая функции 𝑒^𝑥 вогнута вверх, как изображено на фиг. 11.1, так что если вдоль неё расположены массы, то центр тяжести этих масс лежит выше кривой. Ордината этого центра тяжести равна среднему значению ординат точек, т.е. ⟨𝑒^𝑥⟩. Эта величина, очевидно, превышает 𝑒^⟨𝑥⟩ — ординату кривой в точке, соответствующей абсциссе центра тяжести, которая равна среднему значению ⟨𝑥⟩.

Фиг. 11.1 Экспонента от среднего и среднее от экспоненты.

Мы считаем, что весовые множители 𝑎_𝑖 положительны, и рассматриваем их как различные массы, размещённые вдоль кривой. Тогда вследствие вогнутости кривой 𝑒^𝑥 экспонента от среднего значения 𝑥 т.е. 𝑒^⟨𝑥⟩, должна лежать ниже, чем средневзвешенное от экспоненты. Величина 𝑒^⟨𝑥⟩ лежит на кривой, а ⟨𝑒^𝑥⟩ -— центр тяжести указанных точек — должен быть расположен над кривой.

В левой части равенства (11.5) берём среднее значение величины 𝑒^𝑆-𝑆' по траекториям с положительными весами 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡), где 𝑆' и 𝑆 действительные величины. Следовательно, в соответствии с (11.6) эта величина превысит exp⟨𝑆-𝑆'⟩, где ⟨𝑆-𝑆'⟩ — среднее значение 𝑆-𝑆' при том же способе усреднения [т.е. с весом 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡). Это означает, что

⟨𝑆-𝑆'⟩

=

∬

(𝑆-𝑆')

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

(11.7)

и, следовательно,

𝑒

^{⟨𝑆-𝑆'⟩}

≤

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.8)

Отсюда

𝐹

₀

≤𝐹'

₀

-

1

β

⟨𝑆-𝑆'⟩

.

(11.9)

И окончательно

𝐹≤𝐹'-δ

,

(11.10)

где

δ=

1

β

∬

(𝑆-𝑆')

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

(11.11)

Именно здесь оказывается кстати принцип минимума. Он гласит, что если бы мы вычислили 𝐹'₀-δ для различных «действий» 𝑆' то результат, дающий наименьшее значение, был бы наиболее близок к правильному значению свободной энергии 𝐹 ²⁰). На самом деле энергия 𝐹 соответствует, конечно, случаю 𝑆'=𝑆, однако можно считать, что если 𝑆 и 𝑆' отличаются на некоторую величину первого порядка малости, то отличие 𝐹'-δ от 𝐹 не превышает величины второго порядка малости.

²⁰ Стоит снова подчеркнуть, что как 𝑆, так и 𝑆' не являются функционалами действия в собственно физическом значении этого понятия, так как оба они содержат мнимую переменную 𝑢 использованную в качестве «временной» переменной. Однако оперировать с интегралами по траекториям для этих функционалов можно так же, как для использованных выше физических функционалов действия.

Если бы удалось угадать общий вид функции 𝑆', пусть даже с точностью до каких-то неопределённых параметров, то можно было бы вычислить 𝐹'-δ, оставляя эти параметры неизвестными. Затем, минимизируя 𝐹'-δ, можно было бы подобрать лучшие значения этих параметров, «лучшие» в том смысле, что для них 𝐹'-δ наименее отличалось бы от истинного значения энергии 𝐹

Аналогичный принцип минимума можно использовать, чтобы определить приближённое значение энергии наинизшего состояния системы 𝐸₀. Напомним, что

𝑍

=

𝑒

^-β𝐹

=

_∞

∑

^𝑛

𝑒

^-β𝐸_𝑛

.

(11.12)

По мере того как температура системы убывает (т.е. с ростом величины β), члены этого ряда, содержащие более высокие значения энергии, становятся все менее и менее существенными. При определённых обстоятельствах в ряду 𝑍 будет преобладать член с наименьшей энергией 𝑒^-β𝐸₀, т.е.

lim

𝑍

=

𝑒

^-β𝐸₀

.

β→∞

(11.13)

Теперь, рассуждая подобно предыдущему случаю, можно просто заменить в формулах 𝐹 на 𝐸₀. Определим 𝐸'₀ как результат вычисления интеграла по траекториям с новым действием 𝑆 и запишем

𝐸

₀

≤𝐸'

₀

-δ

(11.14)

в качестве первого приближения в пределе больших значений β.

При отыскании 𝐸₀ с помощью этого приёма наша задача будет несколько проще, чем в случае свободной энергии 𝐹. В частности, можно пренебречь условием совпадения начальной и конечной точек траекторий. Чтобы понять это, вернёмся к выражению (10.28) и заметим, что с ростом β в матрице плотности ρ(𝑥',𝑥) доминирующим также становится член нулевого порядка и она стремится к величине 𝑒^-β𝐸₀(𝑥')φ*₀(𝑥). Поэтому точки 𝑥' и 𝑥 войдут только в предэкспоненциальный множитель, и их положение не повлияет на поведение экспоненты, в то время как оно является основным в таком вычислении 𝐸₀.

§ 2. Применение вариационного метода