Квантовая механика и интегралы по траекториям

В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы. Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде

𝑆

=-

_β

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

[𝑥̇(𝑡)]²

+

𝑉[𝑥(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

.

(11.15)

Тогда при больших значениях β функция распределения равна

𝑒

^-β𝐸₀

≈

∫

_𝑥0

∫

^𝑥₀

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

_β

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

[𝑥̇(𝑡)]²

+

𝑉[𝑥(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₀

.

(11.16)

Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.

В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда 𝓀𝑇 велико по сравнению с ℏ) величина βℏ столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки 𝑥₀, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной 𝑉(𝑥₀), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной

(𝑒

^-β𝐸₀

)

_{классич}

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πβ

⎫½

⎪

⎭

∫

𝑒

^{-β𝑉(𝑥)}

𝑑𝑥

,

(11.17)

как показано в выражении (10.48).

В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путём разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала 𝑈, полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.

Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию 𝑊(𝑥), где 𝑥 среднее положение траектории, определяемое выражением

𝑥

=

1

β

_β

∫

⁰

𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

.

(11.18)

Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид

𝑆'

=

-

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

-

β𝑊(

𝑥

)

.

(11.19)

С помощью этого более общего выражения можно вычислить как 𝐹', так и ⟨𝑆-𝑆'⟩.

Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим

δ=

1

∬

⎡

⎢

⎣ exp

⎧

⎪

⎩ -

_β

∫

⁰

𝑚

2 𝑥̇² 𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦ {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝒟𝑥(𝑡) 𝑑𝑥₀

×

×

⎧

⎪

⎩

-

∬

⎧

⎨

⎩

1

β

_β

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑡')]

𝑑𝑡'

-

𝑊(

𝑥

)

⎫

⎬

⎭

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

{exp[

-

β𝑊(

𝑥

)

]}

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₀

⎫

⎪

⎭

.

(11.20)

Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам 𝑥₀.

Отметим, что числитель выражения для δ очень похож на выражение для 𝐼(𝑥), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением 𝑥 и отложить интегрирование по всем возможным значениям 𝑥 на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины 𝐼(𝑥), мы видим, что числитель в δ не зависит от 𝑡'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что

𝑌

=

𝑥

₀

-

𝑥

.

(11.21)

Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то

δ

=

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

[

𝑉(𝑥

₀

)

-

𝑊(

𝑥

)

]

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

6𝑚

β

(𝑥

₀

-

𝑥

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

{exp[

-

β𝑊(

𝑥

)

]}

𝑑𝑥

₀

𝑑

𝑥

×

⎧

⎪

⎩

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

6𝑚

β

(𝑥

₀

-

𝑥

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

{exp[

-

β𝑊(

𝑥

)

]}

𝑑𝑥

₀

𝑑

𝑥

⎫-1

⎪

⎭

.

(11.22)

Интеграл по 𝑥₀ в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (βπ/6𝑚)^½. Кроме того, интеграл в числителе, содержащий 𝑊(𝑥), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию

𝑉(𝑥)

=

6𝑚

πβ

_∞

∫

^-∞

𝑉(𝑥

₀

)

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

6𝑚

β

(𝑥

₀

-

𝑥

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

₀

.

(11.23)

Вид функции

𝑉(𝑥)

отражает учтённый нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала 𝑉(𝑥₀) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции 𝑈(𝑥₀), определённой соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (βℏ²/12𝑚)^½. Для атома гелия при температуре 2° К эта ширина порядка 0,7 Å, однако при комнатных температурах она составит не более 2% от 2,7 Å (диаметр атома гелия). Величину δ теперь можно записать в виде

δ

=

∫ [ 𝑊(𝑥) -

𝑉(𝑥) ] {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝑑𝑥

∫ {exp[ - β𝑊(𝑥) ]} 𝑑𝑥

(11.24)

Следующий шаг состоит в вычислении 𝑊(𝑥), исходя из того, что в соответствии с выражением (11.13) мы должны получить наименьшее значение величины 𝐹'-δ. Значение 𝐹' определено выражением

exp(-β𝐸

'

0

)

=

∫

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

=

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

-

β𝑊(

𝑥

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

=

=

∫

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

×

×

 

∫

^{𝑥 fixed}

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑

𝑥

.

(11.25)

Интеграл по траекториям здесь несложен и равен √𝑚/2πβ, так что получим

exp(-β𝐸

'

0

)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πβ

⎫½

⎪

⎭

∫

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

𝑑

𝑥

.

(11.26)

Следующий шаг — оптимальный выбор функции 𝑊(𝑥) — требует, чтобы мы определили влияние малых изменений функции 𝑊(𝑥) на значение величины 𝐹'-δ и приравняли его нулю. Поэтому, представив 𝑊 в виде

𝑊

→

𝑊(

𝑥

)

+

η(

𝑥

)

,

(11.27)