Квантовая механика и интегралы по траекториям

и 𝐸'₀=3𝑣/4. Это эквивалентно тому, что в выражении (11.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших 𝑣 членом 𝑒^-𝑣τ можно пренебречь, так что 𝐴=(πω)^-½α𝑣^½. Для значений α, меньших чем 5,8, и при 𝑤=0 выражение (11.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие 𝑣=0, так что случай 𝑤=0 не даст единого выражения для всех значений α. Несмотря на этот недостаток, результат (11.81) сравнительно прост и достаточно точен. При α>6 фактически существенны только большие значения 𝑣 и пригодна приближённая формула

𝐴

=

α

⎧

⎨

⎩

𝑣

π

⎫½

⎬

⎭

⎧

⎨

⎩

1+

2 ln2

𝑣

⎫

⎬

⎭

;

(11.82)

при 𝑣>4 эта формула выполняется с точностью до 1%. Однако, например, Фрёлих [9] рассматривает разрыв при α=6 как серьёзный недостаток — недостаток, которого можно избежать в нашей теории. Мы сделаем это, выбрав 𝑤 отличным от нуля.

Изучим выражение (11.80) при малых значениях α и 𝑤≠0. Минимум будет иметь место, когда 𝑣 близко к 𝑤. Поэтому положим 𝑣=(1+ε)𝑤, считая ε малым, и разложим радикал в выражении (11.81). Это даст

𝐴

=

α

𝑣

𝑤

⎡

⎢

⎣

1-ε

_∞

∫

⁰

τ

^-3/₂

𝑒

^-τ

(1-𝑒

^-𝑤τ

)

𝑑τ

2π^½

+…

⎤

⎥

⎦

,

(11.83)

интеграл равен

2ω

^-1

[(1+𝑤)

^½

-1]

=

𝑃

.

(11.84)

В этом приближении задача сводится к минимизированию выражения

𝐸

=

3

4

𝑤ε²

-α-αε(1-𝑃)

,

(11.85)

получающегося с помощью подстановок из выражения (11.80); отсюда следует

ε=

2α(1-𝑃)

3𝑤

.

(11.86)

Этот результат справедлив только при малых значениях α, так как мы предположили, что ε мало. Окончательно

𝐸

=

-α

-

α²(1-𝑃)²

3𝑤

.

(11.87)

Таким образом, наш метод даёт поправку даже для малых значений α. Поправка будет минимальна при 𝑤=3, и в этом случае

𝐸

=

-α

-

α²

81

=

-α

-1,23

⎧

⎪

⎩

α

10

⎫²

⎪

⎭

.

(11.88)

Последнее выражение слабо зависит от 𝑤; например при 𝑤=1 коэффициент 1,23 уменьшается только до 0,98. Метод Ли и Пайнса [10] даёт в этом приближении точно такой же результат, что и выражение (11.88). Разложение по теории возмущений до членов второго порядка было сделано Хага [11], который показал, что истинное значение коэффициента при члене (α/10)² должно быть 1,26, так что наш вариационный метод очень точен при малых α.

Противоположный предел при больших значениях α соответствует большим 𝑣 и, как мы увидим, значениям 𝑤 порядка единицы. Так как 𝑣≫𝑤, то в первом приближении интеграл в выражении (11.75) переходит в формулу (11.81), асимптотику которой можно использовать без вычислений. Следующее приближение по 𝑤 можно получить, разложив радикал в выражении (11.75), при условии 𝑤/𝑣≪1. Кроме того, пренебрежимо малым оказывается член 𝑒^-𝑣τ. В этом случае

𝐸

=

3

4𝑣

(𝑣-𝑤)²

-α

⎧

⎪

⎩

𝑣

π

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

1+

2 ln2

𝑣

-

𝑤²

2𝑣

⎫

⎪

⎭

.

(11.89)

В рассматриваемом приближении больших 𝑣 это выражение минимально при 𝑤=1 и 𝑣=(4α²/9π)-(41𝑛-1); тогда (см. [12])

𝐸

=

-

α

3π

-3 ln2 -

3

4

=

-0,1061α²

-2,83

.

(11.90)

Эти приближения не определяют верхнего предела 𝐸, так как, к сожалению, последующие члены будут порядка 1/α² и, по-видимому, являются положительными.

Детальный численный расчёт, основанный на этом приближении, был выполнен Шульцем [13]. С помощью счётной машины Шульц вычислил значения 𝑣 и 𝑤, которые дают минимум 𝐸 для различных значений α; он вычислил также энергию 𝐸 и сравнил полученную величину со значениями, полученными в различных теориях. В частности, он вычислил собственное значение энергии в теориях Ли, Лоу и Пайнса [14] (𝐸_𝑙𝑙𝑝), в теориях Ли и Пайнса [10] (𝐸_𝑙𝑝), Гросса [15] (𝐸_𝑔), Пекара [16], Боголюбова [17] и Тябликова [18] (𝐸_𝑝𝑏𝑡).

В табл. 2, позаимствованной из работы Шульца [13], приведены результаты вычислений α, 𝑣 и 𝑤, а также значения энергий из теории Фейнмана (𝐸_𝑒) и других теорий. В этой таблице предполагается, что ω и ℏ равны единице. Отметим, что для всех значений а величина энергии в теории Фейнмана меньше, чем во всех других теориях.

Таблица 2

α

3

5

7

9

11

𝑣

 3,44

 4,02

 5,81

  9,85

 15,5

𝑤

 2,55

 2,13

 1,60

  1,28

  1,15

𝐸

_𝑒

-3,1333

-5,4401

-8,1127

-11,486

-15,710

𝐸

_𝑙𝑝

-3,10

-5,30

-7,58

-9,95

-12,41

𝐸

_𝑔

-3,09

-5,24

-7,43

-9,65

-11,88

𝐸

_𝑝𝑏𝑡

-6,83

-10,31

-14,7

Глава 12

ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В предыдущих главах мы видели, как применяются интегралы по траекториям для решения задач квантовой механики, которые по своей физической природе являются вероятностными задачами. Кроме того, мы пользовались этим методом для анализа некоторых проблем статистической механики, вероятностная природа которой делает метод интегралов по траекториям особенно эффективным. Можно расширить круг конкретных применений этого метода на широкий класс задач теории вероятностей.