Квантовая механика и интегралы по траекториям

Это выражение можно осмыслить по аналогии с функцией вероятности для нескольких переменных. Вообразим, что точками 𝑡₁,𝑡₂,… время разбито на дискретные интервалы (как мы это делали в гл. 2, когда только что определили интегралы по траекториям). Тогда значения функции в избранных временных точках 𝑓(𝑡₁),𝑓(𝑡₂),… = 𝑓₁,𝑓₂,…, аналогичны аргументам функции распределения многих переменных. Вероятность обнаружения заданной кривой можно понимать теперь как вероятность получения заданной системы величин 𝑓₁,𝑓₂,… в интервале 𝑑𝑓₁,𝑑𝑓₂,…, т.е. 𝑃(𝑓₁,𝑓₂,…) 𝑑𝑓₁,𝑑𝑓₂,…. Если затем перейти к пределу, устремляя число дискретных интервалов времени к бесконечности, то получим вероятность обнаружения непрерывной кривой 𝑓(𝑡) в интервале 𝒟𝑓(𝑡), стоящую под знаком интеграла по траекториям в выражении (12.3). Определённый таким образом функционал вероятности и соответствующий вероятностный подход мы будем использовать далее в этой главе.

§ 2. Характеристические функции

Полезно и дальше использовать аналогию между функционалом вероятности траектории и более привычной функцией распределения. Оба эти подхода имеют некоторые общие понятия, например понятие среднего значения. В случае обычных функций распределения дискретных величин, когда вероятность обнаружения некоторого числа 𝑛 равна 𝑃_𝑛, среднее значение определяется как

𝑛

=

_∞

∑

^𝑛=1

𝑛

𝑃

_𝑛

.

(12.4)

Для непрерывно распределённых переменных

𝑥

=

_∞

∫

^-∞

𝑥

𝑃(𝑥)

𝑑𝑥

.

(12.5)

Аналогичным образом среднее значение функционала 𝑄[𝑓(𝑡)] определим как

⟨𝑄⟩

=

∫𝑄[𝑓(𝑡)]𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)

∫𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)

.

(12.6)

В последнем соотношении, как и в гл. 7, мы включили в знаменатель интеграл по траекториям, который напоминает нам, что мы всегда должны иметь дело с проблемой нормировки. В принципе можно было бы с самого начала вычислить интеграл по траекториям от функции распределения, приравнять его единице и определить нормировочную постоянную. Однако во многих практических случаях удобнее оставлять функцию ненормированной, просто сокращая числовые множители в числителе и знаменателе выражения, которые сами по себе могут оказаться крайне сложными для вычисления.

Средний квадрат функции в заданный момент времени, например при 𝑡=𝑎, так же как и среднее значение функции, можно выразить через интегралы по траекториям. В этом случае получается функционал

⟨[𝑓(𝑎)]²⟩

=

∫[𝑓(𝑎)]²𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)

∫𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)

.

(12.7)

Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно (12.5) является вычисление среднего значения 𝑒^𝑖𝑘𝑥. Это среднее значение называется характеристической функцией и равно

φ(𝑘)

=

⟨𝑒

^𝑖𝑘𝑥

⟩

=

_∞

∫

^-∞

𝑒

^𝑖𝑘𝑥

𝑃(𝑥)

𝑑𝑥

.

(12.8)

Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для 𝑃(𝑥) и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как её наличие эквивалентно заданию самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование

𝑃(𝑥)

=

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑥}

φ(𝑘)

𝑑𝑘

.

(12.9)

Некоторые важные параметры этого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение 𝑥 равно

⟨𝑥⟩

=

-𝑖

𝑑φ(𝑘)

𝑑𝑘

⎪

⎪

⎪𝑘=0

,

(12.10)

что легко показать, дифференцируя обе части равенства (12.8) по 𝑘 и полагая затем 𝑘=0. В самом деле, существует последовательность соотношений

φ(0)=1

,

φ'(0)=𝑖⟨𝑥⟩

,

φ''(0)=⟨𝑥²⟩

,…

(12.11)

Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем нужно выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, используя ядро exp(𝑖𝑘₁𝑓₁) exp(𝑖𝑘₂𝑓₂) …. При переходе к пределу бесконечного разбиения временных интервалов ядро превращается просто в exp[𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡]. Это и есть функционал, среднее значение которого мы хотим вычислить для построения характеристического функционала. Используя равенство (12.6), получаем

Φ[𝑘(𝑡)]

=

∫𝑒^{𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡}𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)

∫𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)

.

(12.12)

Этот характеристический функционал также обладает важными специальными свойствами. Например, Φ(0)=1, а среднее значение функции 𝑓(𝑡), вычисляемое в некоторый момент времени 𝑡=𝑎, равно

⟨𝑓(𝑎)⟩

=

-𝑖

δ

δ𝑘(𝑎)

Φ[𝑘(𝑡)]

⎪

⎪

⎪𝑘(𝑡)=0

,

(12.13)

где используется функциональная производная, определённая в § 2 гл. 7.

В принципе можно выполнить обратное интегральное преобразование Фурье по траекториям и записать вероятностный функционал в форме

𝑃[𝑓(𝑡)]

=

𝑒

^{-𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡}

Φ[𝑘(𝑡)]

𝒟𝑘(𝑡)

(12.14)

где интеграл по траекториям берётся в пространстве функций 𝑘.

Для дальнейшего использования заметим, что если функция 𝑓(𝑡) всюду совпадает с некоторой заданной функцией 𝐹(𝑡), т.е. 𝑃[𝑓(𝑡)] равен нулю для всех 𝑓(𝑡), кроме 𝐹(𝑡), то характеристическая функция имеет вид

Φ

=

𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡}

.

(12.15)

§ 3. Шумы