Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчёте на 1 сек

𝒫(ω)

=

среднее значение |φ(ω)|²

.

(12.51)

Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов. Корреляционная функция в этом случае — это просто функция μλ(τ) из формулы (12.22), т.е.

𝐴(τ)

=

μ

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑑τ

.

(12.52)

Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром мощности, так как она определяется частотой, равна

𝒫(ω)

=

μ

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑τ

𝑑𝑡

=

μ|γ(ω)|²

,

(12.53)

где γ(ω) — фурье-образ функции сигнала 𝑔(𝑡). В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты 𝑡_𝑖 так что

𝑓(𝑡)

=

 

∑

^𝑖

𝑔(𝑡-𝑡

_𝑖

)

,

то фурье-образ 𝑓(𝑡) равен

φ(ω)

=

 

∑

^𝑖

γ(ω)

𝑒

^{𝑖ω𝑡_𝑖}

.

Таким образом, среднее значение квадрата φ(ω)

⟨|φ(ω)|²⟩

=

⎪

⎪

⎪

 

∑

^𝑖,𝑗

|γ(ω)|²

𝑒

^{𝑖ω(𝑡_𝑖-𝑡_𝑗)}

⎪

⎪

⎪

.

(12.54)

А так как моменты 𝑡_𝑖 случайны и независимы от 𝑡_𝑗 для 𝑗≠𝑖, то при усреднении ни один из членов с 𝑖≠𝑗 не даёт вклада, так как среднее значение exp[𝑖ω(𝑡_𝑖-𝑡_𝑗)] равно нулю: остаются только члены с 𝑖=𝑗. Каждый из них равен |γ(ω)|², а общее их число μ𝑇, так что средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек равна μ|γ(ω)|².

В частном случае, когда характеристическую функцию можно аппроксимировать функцией белого шума из (12.25), 𝐴(𝑡-𝑡')=const δ(𝑡-𝑡').. Это означает, что 𝑓(𝑡) не зависит от ω и при всех частотах на единичный интервал частоты приходится одинаковая «мощность» [средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек].

Рассматриваемые распределения очень удобно описывать, задавая распределение вероятности не для 𝑓(𝑡), а прямо для её фурье-образа φ(ω) и выражая характеристический функционал не через 𝑘(𝑡), а через его фурье-образ 𝐾(ω):

𝐾(ω)

=

∫

𝑘(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

.

(12.55)

Используя это представление, можно записать характеристический функционал для распределения шума, соответствующего равенству (12.43), в следующей форме:

Φ

=

𝑒

^{-½∫|𝐾(ω)|²𝒫(ω)𝑑ω/2π}

,

(12.56)

где выражение, обратное (12.55), подставлено непосредственно в (12.43). При этом функционалу (12.56) соответствует вероятностный функционал

𝑃

=

𝑒

^{-½∫|φ(ω)|²[1/𝒫(ω)]𝑑ω/2π}

(12.57)

Этот результат можно получить непосредственно из выражения 12.56). Для этого заметим, что

𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡}

=

𝑒

^{𝑖∫𝐾(ω)φ(ω)𝑑ω/2π}

.

(12.58)

Тогда в соответствии с определением (12.14) получим

𝑃

=

∫

Φ

𝑒

^{𝑖∫𝐾(ω)φ(ω)𝑑ω/2π}

𝒟𝐾(ω)

.

(12.59)

Если теперь допустить, что возможны лишь дискретные значения ω, разделённые бесконечно малыми интервалами Δ, то интегралы в показателе экспоненты (12.56) и (12.57) можно заменить суммами Римана. При этом наши интегралы по траекториям примут вид

𝑃

=

 

∏

^ω

∫

𝑒

^{-(Δ/2)|𝐾(ω)|²𝒫(ω)}

𝑒

^{𝑖Δ𝐾(ω)φ(ω)}

𝑑𝐾(ω)

.

(12.60)

Интеграл при каждом значении со вычисляется независимо (выделением полного квадрата). В результате имеем

 

∏

^ω

exp

⎧

⎪

⎩

-(Δ/2)|φ(ω)|²

𝒫(ω)

⎫

⎪

⎭

.

(12.61)

Объединив отдельные множители в этом произведении, получим функционал (12.57). Ясно, что все происходящее на одной частоте не зависит от происходящего на других частотах, а величина сигнала с частотой ω, φ(ω), распределяется по гауссову закону со средним квадратом, пропорциональным 𝒫(ω).

§ 6. Броуновское движение

Как правило, метод интегралов по траекториям на практике не облегчает решение задачи, если она не может быть решена другим способом. Тем не менее каждый, кто до сих пор следил за нашими рассуждениями и знаком с интегралами по траекториям, признает этот способ выражения очень простым, если дело касается вероятностных задач.

Рассмотрим влияние броуновского движения на некоторую линейную систему, например гармонический осциллятор с затуханием, возбуждаемый случайно изменяющейся силой 𝑓(𝑡). Допустим, что масса осциллятора равна единице. В этом случае необходимо решить уравнение

𝑥̈

-

γ𝑥̇

+

ω

2

0

𝑥

=

𝑓(𝑡)

,

(12.62)

где 𝑥(𝑡) координата осциллятора. Если функция 𝑓(𝑡) определяется заданным распределением вероятности 𝑃_𝑓[𝑓(𝑡)], то каким окажется вероятностное распределение 𝑃_𝑥[𝑥(𝑡)] для различных возможных траекторий 𝑥(𝑡)? Уравнение (12.62) связывает координату 𝑥 и силу 𝑓, т.е. для каждого значения 𝑓(𝑡) существует 𝑥(𝑡). Следовательно, вероятность обнаружить заданную функцию 𝑥 такова же, что и вероятность соответствующей функции 𝑓, т.е.

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

𝒟𝑥(𝑡)

=

𝑃

_𝑓

[𝑓(𝑡)]

𝒟𝑓(𝑡)

,

(12.63)

где величина 𝑥 связана с 𝑓 уравнением (12.62). В общем случае нужно быть осторожным при переходе от 𝒟𝑥(𝑡) и 𝒟𝑓(𝑡), так как тут существует зависимость, аналогичная якобиану преобразования элементарных объёмов. Однако если 𝑓 и 𝑥 связаны линейно (как это имеет место в нашем случае), то этот якобиан равен константе. Таким образом, как и в обычном методе интегралов по траекториям, если имеется уверенность в возможности нормировать результат, то

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

=

const 𝑃

_𝑓

(

𝑥̈

-

γ𝑥̇

+

ω

2

0

𝑥

),

(12.64)