Квантовая механика и интегралы по траекториям

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

 

∑

^𝑓

∬

exp(𝑖{

𝑆[𝑄(𝑡)]

-

𝑆[𝑄'(𝑡)]

+

+

𝑆

_взаим

[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]

-

𝑆

_взаим

[𝑞'(𝑡),𝑄'(𝑡)]

})

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

.

(12.90)

Сумма по 𝑓 означает, что мы должны взять сумму по всем возможным конечным состояниям 𝑄. Это связано с тем, что не проводится никаких измерений координат 𝑄 и возможны все конечные состояния среды. Поэтому нужно сложить вероятности всех возможных процессов [т.е. все функции (12.88)]. Например, в координатном представлении

∑

^𝑓

как раз подразумевает, что, начиная с некоторого момента времени 𝑡_𝑓, взаимодействие для нас больше не представляет интереса; мы должны взять 𝑄(𝑡_𝑓) = 𝑄'(𝑡_𝑓) = 𝑄_𝑓 и проинтегрировать по всем 𝑄_𝑓

Резюмируя, скажем, что поведение системы в любой среде можно описать с помощью двойных интегралов по траекториям, аналогичных интегралу (12.89), где функционал 𝐹 отражает свойства среды — её влияние на систему — и учитывает все связанные с этим изменения 𝑞(𝑡). Две различные окружающие среды 𝐴 и 𝐵, совершенно различные по своему физическому строению, тем не менее могут оказаться неразличимы по поведению системы 𝑞, если с ними связан один и тот же функционал влияния 𝐹. Функционал 𝐹 — это нечто аналогичное внешним «силам», которые вводятся при классическом рассмотрении поведения одной из взаимодействующих систем. Мы можем изучать лишь движение системы 𝑞, при условии что знаем зависимость от времени сил, действующих на неё со стороны среды. Ньютоновские уравнения движения для 𝑞 представляют собой грубую аналогию выражения (12.89), тогда как выражение (12.90) соответствует учёту сил, обусловленных средой. Две различные среды эквивалентны, если они одинаково действуют на 𝑞. Естественно, это — очень грубая аналогия. Что касается функционалa 𝐹, то он описывает полное влияние среды, включая изменения в поведении самой среды из-за реакции со стороны 𝑞. Это аналогично тому, как если бы при классическом рассмотрении нам были бы известны не только сами силы, но и их изменение во времени при любом возможном движении исследуемой системы 𝑞(𝑡). Силы воздействия среды, вообще говоря, зависят от движения 𝑞(𝑡), так как сама среда подвергается влиянию со стороны интересующей нас системы 𝑞.

Таким образом, мы приходим к необходимости изучить свойства функционалов влияния. Составим список нескольких правил, определяющих такие свойства, и сформулируем некоторые допущения, при которых они получаются.

Правило I.

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]*

=

𝐹[𝑞'(𝑡),𝑞(𝑡)]

,

(12.91)

где значком * отмечено комплексное сопряжение.

Правило II. Если функции 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) выбраны равными для всех 𝑡, больших любого 𝑎, то 𝐹 не зависит от фактических значений 𝑞(𝑡) для 𝑡>𝑎.

Правило III. Если 𝐹_𝑖 — функционал влияния для определённой среды 𝑖 и мы фактически не знаем реального окружения системы, а знаем лишь, что вероятность найти систему в среде 𝑖 равна ω_𝑖, то эффективный функционал влияния (для расчёта всех вероятностей)

𝐹

=

 

∑

^𝑖

ω

_𝑖

𝐹

_𝑖

.

(12.92)

Правило IV. Если система 𝑞 одновременно взаимодействует с двумя внешними системами 𝐴 и 𝐵 и если системы 𝐴 и 𝐵 непосредственно не взаимодействуют между собой, а их начальные состояния никак не связаны, то

𝐹

=

𝐹

_𝐴

⋅

𝐹

_𝐵

,

(12.93)

где 𝐹_𝐴 функционал влияния для случая, когда с 𝑞 взаимодействовала бы только одна система 𝐴, и 𝐹_𝐴 — такой же функционал для системы 𝐵.

Правило V. Если функционал 𝐹 можно с достаточной точностью аппроксимировать выражением

𝐹

=

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

∫

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

𝑉(𝑡)

𝑑(𝑡)

⎫

⎬

⎭

,

(12.94)

то система ведёт себя так же, как под влиянием классического потенциала 𝑉(𝑡), который вносит в действие вклад ∫𝑞(𝑡)𝑉(𝑡)𝑑(𝑡). Если же функционал имеет вид 𝐹(𝑞,𝑞')=Φ[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)], где Φ[𝑘(𝑡)] — функционал произвольной формы, то окружение эквивалентно классическому случаю, однако с неопределённым потенциалом 𝑉(𝑡) [в этом случае Φ — характеристический функционал для распределения 𝑉(𝑡)].

Справедливость правила I очевидна непосредственно из выражения (12.90). Это же выражение объясняет также правило II, однако гораздо менее наглядным образом. Отметим, что для произвольной системы с некоторым определённым действием 𝑆_𝑎(𝑄) при любом заданном начальном состоянии

 

∑

^𝑓

∬

exp(𝑖{

𝑆

_𝑎

[𝑄(𝑡)]

-

𝑆

_𝑎

[𝑄'(𝑡)]

})

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

=1

.

(12.95)

Это следует из того, что интегралы и сумма по конечным состояниям

∑

^𝑓

эквивалентны соотношению

∫

𝐾(𝑄

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑄

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝐾*(𝑄

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑄'

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝒟𝑄

_𝑓

=

δ(𝑄

_𝑖

-𝑄'

_𝑖

)

(12.96)

[см. формулу (4.37)]. Таким образом, если бы начальная волновая функция была φ(𝑄_𝑖), то, умножая, как это делалось в выражении (12.79), на φ(𝑄_𝑖)φ*(𝑄_𝑖) и интегрируя, мы получили бы

∫

φ(𝑄

_𝑖

)φ*(𝑄

_𝑖

)

δ(𝑄

_𝑖

-𝑄'

_𝑖

)

𝑑𝑄

_𝑖

𝑑𝑄'

_𝑖

=

∫

|φ(𝑄)|²

𝑑𝑄

=1

.

(12.97)

Заметим теперь, что если в выражении (12.90) мы положим 𝑞'(𝑡)=𝑞(𝑡) для любого заданного 𝑞(𝑡) и всех значений 𝑡, то получим выражение, в точности совпадающее с равенством (12.95), где полное суммарное действие равно

𝑆

_𝑎

[𝑄(𝑡)]

=

𝑆

₀

[𝑄(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖

[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]

причём

𝑆

_𝑎

[𝑄'(𝑡)]

=

𝑆

₀

[𝑄'(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖

[𝑞(𝑡),𝑄'(𝑡)]

что и требуется, пока 𝑞'(𝑡)=𝑞(𝑡). Следовательно,

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞(𝑡)]

=1

.