Квантовая механика и интегралы по траекториям

до тех пор, пока 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎. А так как 𝑎 — произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех 𝑡 и 𝑡', если только 𝑡>𝑡'.

Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции α(𝑡,𝑡') и выражается в форме

exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

_𝑡

∫

 

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

[

𝑞(𝑡')α(𝑡,𝑡')

-

𝑞'(𝑡')α*(𝑡,𝑡')

]

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

.

(12.104)

В случае когда α(𝑡,𝑡') — действительная функция, например, равна 𝐴(𝑡,𝑡'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах α — комплексная величина. Важным частным случаем является функция α, зависящая только от разности 𝑡 и 𝑡: α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.

Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система 𝑞 переходит из энергетического состояния 𝑛 в некоторое другое ортогональное состояние 𝑚 за время 𝑇. Предположим, что α очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить 𝐹, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по α, состоитиз четырёх частей. Одна из них это

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

Если подставить её вместо 𝐹 в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при φ=φ_𝑛 и χ=φ_𝑚, то видно, что интеграл по 𝒟𝑞(𝑡) и 𝒟𝑞'(𝑡) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по 𝑞 имеет вид

∫

𝑒

^{𝑖𝑆[𝑞]}

⎡

⎢

⎣

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑞(𝑡)

и представляет собой матричный элемент

𝑚

╱

╲

-

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

╲

╱

𝑛

=

=

-

∫

_𝑡

∫

 

_𝑚

⟨

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

⟩

_𝑛

α(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

(12.105)

(см. гл. 4). Интеграл no 𝒟𝑞' равен просто ∫𝑒^{𝑖𝑆[𝑞]}𝒟𝑞' и комплексно сопряжён матричному элементу _𝑚⟨1⟩_𝑛. Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность перехода

𝑃(𝑛→𝑚)

=

∫

_𝑡

∫

 

[

α(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

⟩

_𝑛

_𝑚

⟨1⟩

_𝑛

-

-

α*(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨1⟩

_𝑛

_𝑚

⟨

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

⟩*

_𝑛

+

α*(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨𝑞(𝑡)⟩

_𝑛

_𝑚

⟨𝑞(𝑡')⟩*

_𝑛

+

+

α(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨𝑞(𝑡)⟩*

_𝑛

_𝑚

⟨𝑞(𝑡')⟩

_𝑛

]

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

(12.106)

Если состояния 𝑚 и 𝑛 ортогональны, то _𝑚⟨1⟩_𝑛=0; если же действие 𝑆[𝑞] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями 𝐸_𝑘, то

_𝑚

⟨𝑞(𝑡)⟩

_𝑛

=

𝑞

_𝑚𝑛

𝑒

^{-𝑖(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑡}

(12.107)

В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что

𝑃(𝑛→𝑚)

=

2𝖱𝖾

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑒

^{-𝑖(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)(𝑡-𝑡')}

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

(12.108)

Задача 12.3. Проверьте, что для 𝑚=𝑛 в соответствии с законом сохранения вероятности

𝑃(𝑚→𝑚)

=

1-

 

∑

^𝑛

𝑃(𝑚→𝑛)

Для однородной по времени среды α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье

𝑎(ν)

=

_∞

∫

⁰

α(τ)

𝑒

^-ντ

𝑑τ

(12.109)

[α_𝑡 не определена для 𝑡<0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода

𝑃(𝑛→𝑚)

_{за 1 сек}

=

2𝑎

_𝑅

(𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑛

)

|𝑝

_𝑛𝑚

|²

,

(12.110)

где мы выделили действительную и мнимую части 𝑎(ν):

𝑎(ν)

=

𝑎

_𝑅

(ν)

+

𝑖𝑎

_𝐼

(ν)

.

(12.111)

Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, α(τ) — действительная функция [см. (12.87)1, а действительная часть α(ν) является спектральной функцией мощности шума, определённой соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝑎

_𝑅

(-ν)

(12.112)

и в первом порядке по возмущению

[скорость перехода 𝑛→𝑚]

=

[скорость перехода 𝑚→𝑛]

.

(12.113)

Обе скорости пропорциональны мощности 𝑃(ω) при значении ω, равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.

Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовём такую среду «холодной». В этом случае переходы системы 𝑞 с возрастанием энергии (𝐸_𝑚-𝐸_𝑛) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде

𝑎

_𝑅

(ν)

 при

ν>0

(12.114)

и в первом порядке по возмущению

[скорость перехода 𝑛→𝑚]

=0, если 𝐸

_𝑚

-𝐸

_𝑛

.

(12.115)

Так как любая функция 𝑎(ν) может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определённой в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией 𝐴₁(𝑡,𝑡'), как это сделано в соотношении (12.87), а воздействие другой среды — аналогичной функцией 𝐴₂(𝑡,𝑡'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен 𝐴₁+𝐴₂.

§ 9. Функционал влияния гармонического осциллятора