Квантовая механика и интегралы по траекториям

^{-(𝐸_𝑛-𝐸_𝑚)/𝓀𝑇}

;

(12.130)

при этом мы воспользовались выражением (12.110).

Таким образом, если система 𝑞 занимает различные состояния 𝑛 с относительными вероятностями 𝑒^{-(𝐸_𝑛)/𝓀𝑇}, то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии. Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой 𝑇, приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12.129).

Для атома, рассматриваемого в качестве системы 𝑞 и взаимодействующего с электромагнитным полем при температуре 𝑇 как с некоторой средой, величина 𝑎_𝑅(ν) даётся выражением (12.128), проинтегрированным по всем собственным колебаниям поля с различными частотами ω. Его можно разделить на часть, соответствующую холодной среде, описываемую уравнением (12.123), и внешний шумовой потенциал

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝐶²

2ω

δ(ω+ν)

+

1

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

𝐶²

2ω

[

δ(ω+ν)

+

δ(ω-ν)

]

.

(12.131)

Первый член вызывает переходы только к более низким уровням, называемым спонтанным излучением. Второй член с одинаковой лёгкостью вызывает переходы вверх и вниз, называемые индуцированным излучением, или индуцированным поглощением. Мы говорим, что этот переход вызывается внешним потенциалом или шумом, среднеквадратичная интенсивность которого при частоте ν меняется с температурой как 1/(𝑒^{ℏν/𝓀𝑇}-1). Таким способом Эйнштейн впервые рассмотрел законы излучения чёрного тела. Как мы теперь видим, любое окружение, дающее квадратичный потенциал влияния при температуре 𝑇 (назовём его окружением с линейной реакцией), можно рассмотреть тем же путём. Многие исследователи распространили аргументы Эйнштейна на другие системы, например на шумовые флуктуации потенциала в вольтметре при температуре 𝑇. Первый член измеряет скорость, с которой энергия определённым способом отбирается от системы. Он измеряет величину диссипации, вызванной средой (например, электрическим сопротивлением металла или радиационным сопротивлением электромагнитного поля). Относительно тел при температуре 𝑇 можно сказать, что они ведут себя так, как будто, кроме диссипации, имеется генерируемый средой шумовой сигнал, средний квадрат которого при любой частоте пропорционален диссипации при той же частоте и величине (𝑒^{ℏν/𝓀𝑇}-1)^-1. Это утверждение называется диссипатпивно-флуктуационной теоремой.

Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. [20—22]).

§10. Заключение

Из рассмотренных приложений интегралов по траекториям к теории вероятностей ясно, что если подынтегральные выражения имеют гауссову форму, то наш метод может оказаться весьма полезным. Однако при этом мы не выходим за круг задач, которые можно решить и другими методами без использования интегралов по траекториям. Возникает резонный вопрос о практической значимости интегралов по траекториям. На это можно сказать лишь, что если задача не является гауссовой, то с помощью интегралов по траекториям её по крайней мере можно сформулировать, исследовать и надеяться, что дальнейшее развитие этого метода позволит также и решить задачу. Единственный случай, когда с помощью интегралов по траекториям получается результат, который нельзя просто вывести обычными методами,— это вариационный принцип, обсуждавшийся в гл. 11. Можно думать, что при дальнейшем совершенствовании метода число таких результатов возрастёт.

Стоит также подчеркнуть, что этот метод допускает быстрый переход от одной формулировки задачи к другой и часто даёт ясное или легко выводимое указание на соотношение, которое затем со значительно большей затратой труда можно вывести обычными способами.

Что касается применений к квантовой механике, то методу интегралов по траекториям присущи, к сожалению, серьёзные недостатки. Таким методом нельзя просто рассматривать спиновые или другие подобные операторы. Наиболее плодотворным он оказывается в применении к системам, для описания которых вполне достаточно координат и канонически сопряжённых им импульсов. Тем не менее спин является неотъемлемой частью реальных квантовомеханических систем. И очень серьёзным ограничением является то, что полуцелый спин электрона не имеет простого и ясного представления в нашем методе. Спин электрона можно ввести, если амплитуды вероятности и все величины рассматривать как кватернионы, а не как обычные комплексные числа; однако возникающая при этом некоммутативность таких чисел — серьёзное осложнение.