Квантовые миры и возникновение пространства-времени

На этом простом геометрическом факте основано правило Борна для расчета квантовых вероятностей. Сами амплитуды в сумме не дают единицу, а их квадраты – дают. Все это напоминает важную особенность теории вероятности: сумма вероятностей различных исходов должна быть строго равна единице. (Что-то должно произойти, и общая вероятность всех возможных исходов в сумме дает единицу.) Еще одно правило заключается в том, что вероятности обязательно выражаются неотрицательными числами. Опять же, амплитуды в квадрате соответствуют этому требованию: амплитуды могут быть отрицательными (или комплексными), но их квадраты являются неотрицательными вещественными числами.

Не успев как следует задуматься, мы уже видим, что «амплитуды в квадрате» обладают подходящими свойствами, чтобы описывать вероятности исходов: это множество неотрицательных чисел, в сумме всегда дающих единицу, поскольку длина волновой функции равна единице. В этом вся суть: правило Борна сводится к теореме Пифагора, применяемой к амплитудам вероятностей различных исходов. Вот почему речь идет об амплитудах в квадрате, а не о самих амплитудах, не о квадратных корнях из амплитуд или о чем-нибудь столь же безумном.

Векторная картина позволяет красиво объяснить и принцип неопределенности. Как вы помните, электроны с верхним спином распределяются в соотношении пятьдесят на пятьдесят, превращаясь в электроны с левым и правым спинами, когда их пропускают через «следующий», горизонтально ориентированный магнит. Это говорит о том, что электрон в состоянии верхнего спина находится в суперпозиции правого и левого спинов, как и электрон с нижним спином.

Так, идея левого или правого спина определенным образом связана с идеей верхнего или нижнего спина; каждую из этих возможностей можно рассматривать как суперпозицию двух других. Мы уже говорили, что чистые состояния с верхним и нижним спинами образуют базис для определения произвольного состояния кубита – любое квантовое состояние можно записать как суперпозицию двух этих чистых состояний. Однако чистые состояния с левым и правым спинами образуют другой, но тоже вполне хороший базис. Так что любое состояние кубита можно также разложить и по этому базису.

Рассмотрим эту картину с точки зрения векторов. Если изобразить плоскость и отложить верхний спин по оси абсцисс, а нижний спин – по оси ординат, то из приведенных выше соотношений мы увидим, что направления правого и левого спинов окажутся под углом в сорок пять градусов к этим осям. Любую волновую функцию можно разложить как по осям «вверх-вниз», так и по осям «вправо-влево». Одна система координат повернута относительно другой, однако обе эти системы прекрасно подходят, чтобы разложить по ним любой интересующий нас вектор.

Теперь понятно, откуда берется принцип неопределенности. Для единственного спина принцип неопределенности гласит, что состояние не может иметь определенного значения спина одновременно и в исходном базисе (вверх-вниз), и в повернутом базисе (вправо-влево). Именно это и показано на рисунке: если состояние соответствует чистому верхнему спину, то автоматически является некоторой комбинацией левого и правого спинов, и наоборот.

Как нет квантовых состояний, которые были бы одновременно локализованы по координате и импульсу, так нет и состояний, которые были бы одновременно локализованы по горизонтальному и вертикальному спинам. Принцип неопределенности отражает взаимосвязь того, что существует в реальности (квантовые состояния), и того, что мы можем измерить (одна наблюдаемая величина в каждый момент времени).

5 Запутанные вдали Многочастичные волновые функции

Научно-популярные описания дискуссий между Эйнштейном и Бором часто создают впечатление, будто Эйнштейн никак не мог уложить в голове принцип неопределенности, поэтому тратил время на изобретение хитрых способов его обойти. На самом деле в квантовой механике его смущала ее очевидная нелокальность – событие в одной точке пространства, казалось бы, может непосредственно влиять на эксперимент, который проводится очень далеко. Ему потребовалось некоторое время, чтобы облечь свои опасения в хорошо сформулированное возражение, и, занимаясь этим, он помог осветить одну из самых глубоких особенностей квантового мира: феномен запутанности.

Запутанность возникает, поскольку существует только одна волновая функция для всей Вселенной, а не отдельные волновые функции для каждого ее фрагмента. Откуда нам это известно? Почему не может быть отдельной волновой функции у каждой частицы или поля?