Логика и рост научного знания

остальной части теории, то аксиомы должны быть (с) вводят. Такое понимание аксиом можно разъяснить с

достаточнымидля дедукции всех высказываний, при-

помощью аналогии между аксиоматической системой и

надлежащих к аксиоматизируемой теории, и (d) необ-

(непротиворечивой и разрешимой) системой уравнений.

ходимымив том смысле, что система не должна содер-

Действительно, допустимые значения «неизвестных»

жать излишних предположений17.

(или переменных), входящих в систему уравнений, так

В аксиоматизированной таким образом теории мож-

или иначе детерминируются ею. Даже если системы

но исследовать взаимную зависимость различных частей

уравнений недостаточно для задания единственного ре-

этой системы. Например, мы можем исследовать, вы-

шения, она не позволяет подставлять на место «неиз-

водима ли некоторая часть теории из определенного

вестных» (переменных) любую мыслимую комбинацию

подмножества аксиом. Исследования такого рода (о ко-

значений. Одни комбинации значений система уравне-

торых подробнее говорится в [70, разд. 63, 64, 75—77] ) ний характеризует как допустимые, другие — как недо-

имеют важное значение для проблемы фальсифицируе-

пустимые; она проводит различие между классом допу-

мости. Они делают ясным ответ на вопрос о том, поче-

стимых значений системы и классом недопустимых зна-

му фальсификация логически выведенного высказыва-

чений. Аналогичным образом системы понятий можно

ния иногда может затронуть не всю систему, а только

разделить на допустимые и недопустимые с помощью

часть ее, которая и считается фальсифицированной в

того, что можно назвать «высказыванием-уравнением».

этом случае. Хотя теории физики в общем не полностью

Высказывание-уравнение получается из пропозицио-

аксиоматизируемы, установление связей между их раз-

нальной функции, или функции-высказывания (ср. вы-

личными частями помогает нам решить, какая из этих

ше, прим. 14), которая представляет собой неполное

частей затрагивается некоторым отдельным фальсифи-

высказывание, имеющее одно или несколько «пустых

цирующим наблюдением.

мест». Двумя примерами таких пропозициональных

функций, или функций-высказываний, являются: «Изо-

топ элемента имеет атомный вес 65» и «х-\-у=12».

Каждая такая пропозициональная функция превра-

17 В связи с этими четырьмя условиями и содержанием следую-

щего раздела см. несколько другое понимание рассматриваемых

щается в высказываниеблагодаря подстановке опреде-

проблем в [10, с. 70].

Г*

99

98

ленных значений на пустые места — вместо и у.По-

таким образом, не может рассматриваться как система

лучающиеся в результате подстановки высказывания

эмпирических, или научных, гипотез (в нашем смысле), будут либо истинными, либо ложными в зависимости от

так как ее нельзя опровергнуть посредством фальсифи-

подставляемых значений (или их комбинаций). Так, в

кации ее следствий, которые также должны быть анали-

первом примере подстановка слова «медь» или «цинк»

тическими.

вместо дает истинное высказывание, в то время как

(2) Каким же образом аксиоматическую систему

другие подстановки дают ложные высказывания. То, можно интерпретировать как систему эмпирических, или

что я называю «высказыванием-уравнением», получает-

научных, гипотез?Обычный ответ на этот вопрос со-

ся в том случае, когда для некоторой пропозициональ-

стоит в том, что исходные термины аксиоматической си-

ной функции мы решаем допускать подстановку только

стемы нужно рассматривать не как неявно определен-

таких значений, которые превращают эту функцию в

ные, а как «внелогические константы». Например, истинное высказывание,Посредством такого высказы-

такие понятия, как «прямая» и «точка», встречающие-

вания-уравнения определяется некоторый класс допу-

ся в каждой системе аксиом геометрии, можно интер-

стимых значений системы, а именно класс тех значе-

претировать как «световой луч» и «пересечение световых

ний, которые ей удовлетворяют. Аналогия с математи-

лучей». При этом высказывания аксиоматической систе-

ческим уравнением здесь очевидна. Если наш второй

мы становятся высказываниями об эмпирических объ-

пример интерпретировать не как пропозициональную

ектах, то есть синтетическими высказываниями.

функцию, а как высказывание-уравнение, то он стано-

На первый взгляд такое понимание может пока-

вится уравнением в обычном (математическом) смысле.

заться вполне удовлетворительным. Однако оно приво-

Поскольку неопределяемые фундаментальные идеи

дит к трудностям, которые связаны с проблемой эмпи-

или исходные термины можно рассматривать как пу-

рического базиса.Совершенно неясно, как можно эм-

стые места, постольку аксиоматическая система оказы-

пирически определить понятия.Обычно в этом случае

вается системой пропозициональных функций. Однако

говорят об «остенсивных определениях», что означает, если мы решаем допускать для подстановки только та-

что определенное эмпирическое значение приписывает-

кие комбинации значений, которые ей удовлетворяют, ся понятию посредством соотнесения его снекоторыми