Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

С математической точки зрения все законы обратных квадратов – это всего лишь упрощенный вариант степенных законов масштабирования, о которых мы столько говорили в этой книге. В этой терминологии предсказание относительно перемещений в городах можно выразить следующим образом: число людей, перемещающихся в определенное место, масштабируется в зависимости от преодолеваемого расстояния и частоты его посещений по степенному закону с показателем –2. Таким образом, построенные в логарифмическом масштабе зависимости числа посетителей такого места от преодолеваемого ими расстояния и от частоты их посещений должны представлять собой прямые линии с одинаковым наклоном, равным –2 (напомню, что минус попросту означает, что прямая наклонена вниз). Я хочу подчеркнуть, что, как и в случае любых других законов масштабирования, здесь предполагается усреднение по достаточно длительному времени, скажем равному шести месяцам или году, что позволяет сгладить суточные колебания или различия между рабочими и выходными днями.

Как легко видеть из рис. 47, данные самым великолепным образом подтверждают эти предсказания. Действительно, наблюдаемое масштабирование замечательно единообразно, и наклоны линий прекрасно согласуются с предсказанным значением –2. Особенно приятно видеть, что один и тот же предсказанный закон обратных квадратов наблюдается по всему миру, в разных городах с разными культурными и географическими особенностями, находящихся на самых разных ступенях развития: мы наблюдаем одну и ту же картину в Северной Америке (Бостон), Азии (Сингапур), Европе (Лиссабон) и Африке (Дакар). Более того, если разбить каждую из этих городских агломераций на отдельные районы, в каждом из них проявляется тот же закон обратных квадратов, как показывают, например, рис. 48 и 49, на которых представлена выборка конкретных мест в Бостоне и Сингапуре.

Позвольте мне привести простой пример, иллюстрирующий действие этой теоремы. Предположим, что район, окружающий Парк-стрит в Бостоне, в среднем посещают раз в месяц 1600 человек, живущих на расстоянии 4 км от него. Каково число людей, живущих на вдвое большем расстоянии (8 км) и посещающих это место с той же частотой, то есть раз в месяц? Согласно закону обратных квадратов это число равно ¼ (= (½)²) от предыдущего, то есть раз в месяц на Парк-стрит бывают всего 400 человек, живущих в 8 км от нее. А как насчет тех, кто живет в пять раз дальше, в 20 км? Отношение равно 1/25 (=(1/5)²), то есть всего 64 посетителя (1/25 × 1600) ежемесячно. Принцип понятен. Но дело этим не кончается: точно так же можно спросить, что получится, если изменить частоту посещений. Например, предположим, что мы хотим узнать, сколько человек, живущих на том же расстоянии 4 км, посещают Парк-стрит, но с большей частотой, два раза в месяц. Здесь также действует закон обратных квадратов, так что ответ равен ¼ (=(½)²) исходного числа, то есть 400. Соответственно, число посетителей с того же расстояния, равного 4 км, бывающих там пять раз в месяц, равно 64 (1/25 × 1600).

Заметим, что это число совпадает с количеством людей, приезжающих на Парк-стрит с расстояния в пять раз большего (20 км) всего раз в месяц. Таким образом, число людей, приезжающих с расстояния 4 км пять раз в месяц, равно числу тех, кто приезжает один раз в месяц с пятикратно большего расстояния (20 км): в нашем примере это число равно 64. Этот результат не зависит от конкретных чисел, которые я выбрал для этой иллюстрации. Он дает пример поразительной общей симметрии подвижности: если произведение преодолеваемого расстояния на частоту посещений любого конкретного места сохраняется постоянным, то постоянным остается и число посетителей этого места. В нашем примере мы имеем в первом случае 4 км × 5 раз в месяц = 20, а во втором – 20 км × 1 раз в месяц = 20. Такое постоянство действует для любого расстояния до любого района любого города и любой частоты его посещений. Эти предсказания подтверждаются данными и проявляются в различных графиках, представленных на рис. 48 и 49, из которых можно ясно видеть, что схема посещений остается неизменной, когда произведение расстояния на частоту имеет одно и то же значение.