Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

В приведенном выше фрагменте мы видим вопросы с одним ответом, к которому учитель подводит учеников. Сравните это с уроком, который мы наблюдали в Китае и во время которого учительница не задавала таких вопросов, как «Чему равна сумма смежных углов?» Она задавала вопросы такого типа: «Могут ли два острых угла быть смежными? Могут ли два смежных угла быть острыми?» Такие вопросы требуют от учеников более глубоких размышлений об определениях и соотношениях. Ниже представлен фрагмент урока в Китае, на котором я присутствовала и который очень отличается от урока в США.

Ученик: Как он только что сказал, если есть два равных угла, сумма величин которых равна 180°, это должны быть два прямых угла. Поскольку величины острых углов всегда меньше 90°, сумма величин двух острых углов не будет больше 180°.

Учитель: Следовательно, если два угла смежные, они должны быть тупыми?

Ученик: Нет.

Учитель: Нет? Почему? Думаю, если два угла являются смежными, они должны быть тупыми.

Ученик: Я считаю, что это может быть один острый и один тупой угол.

Учитель: Он говорит, что, хотя два смежных угла не могут быть острыми, это могут быть один острый и один тупой угол.

Ученик: Например, как угол 1 и угол 5 в том вопросе. Один острый, другой тупой.

Учитель: Хорошо. Если есть два смежных угла, хотя бы один из них острый.

Другие ученики: Нет, хотя бы один угол должен быть больше 90°.

Ученик: Есть исключение: когда оба угла прямые.

Уроки в США и Китае кардинально отличаются друг от друга. В США учитель ставит ученикам процедурные вопросы, а те дают единственный возможный ответ. Вопросы учителя, будто взятые из учебника, касались простого примера с углами, а ученики давали определения, которые они изучили. На уроке в Китае учительница не ставила вопросы в духе «закончите это предложение»; она выслушивала идеи учеников и формулировала провокационные утверждения, которые помогали ученикам глубже понять суть изучаемого материала. Утверждения учительницы побуждали учеников выдвигать в ответ гипотезы и аргументы, размышляя о соотношениях между разными углами.

Во второй части урока основное внимание уделялось диаграммам, которые могли нарисовать ученики, чтобы проиллюстрировать изученные соотношения между углами. Дети составляли разные диаграммы, меняя направление и двигая по кругу лучи и стороны треугольников. Они обсуждали идеи друг с другом и с учительницей, задавая вопросы по поводу этих идей и развивая их до такой глубины, какой я не могла себе даже представить, пока не побывала на том уроке. Когда ученики обсуждали диаграммы соотношений между углами, один из них сказал: «Это просто захватывающе». Вряд ли найдется много учеников, которые пришли бы к такому выводу на уроке в США.

В ходе видеоисследования TIMSS был проведен сравнительный анализ подхода к преподаванию в США и других странах. По результатам был сделан вывод о том, что в США уроки «в милю шириной и дюйм глубиной» (Schmidt et al., 2002), а в других странах, особенно в Японии, они носят более концептуальный и глубокий характер, подразумевают более активное обсуждение изучаемого материала учениками. Этот анализ позволил установить связь между глубиной обсуждения и работы в Японии (в отличие от США) и более высоким уровнем успеваемости в стране (Schmidt et al., 2002; Schmidt, McKnight, & Raizen, 1997).