Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Ученики могли использовать кубики. Мы попросили детей работать группами, обсуждая разные идеи. Иногда группы формировали мы сами, а порой их создавали сами ученики. В день, о котором идет речь, я обратила внимание на интересную группу из троих мальчиков — самых непослушных в классе! До начала учебы в летней школе они не были знакомы друг с другом, но на протяжении большей части первой недели либо сами уклонялись от выполнения заданий, либо делали всё, чтобы отвлечь других от работы. Эти мальчишки постоянно что-то выкрикивали, когда другие писали на доске; в первые дни учебы их больше интересовало общение, чем обсуждение математических задач. На последнем занятии по математике Хорхе получил неудовлетворительную оценку, Карлос — удовлетворительную, а Люк — отличную. Но в день, когда мы дали ученикам это задание, что-то изменилось. Три мальчика трудились 70 минут, не останавливаясь, не отвлекаясь и не пытаясь уклониться от работы. В какой-то момент к ним подошли девочки и начали тыкать в них карандашами. Мальчики взяли свою работу и перешли к другому столу — настолько они были увлечены поиском решения.

Все наши уроки записывались на видео. Просматривая запись того, как эти мальчики работали в тот день, мы увидели, что они активно обсуждают числовые закономерности, визуальный рост и алгебраическое обобщение. Такая глубокая вовлеченность отчасти объяснялась тем, что мы использовали адаптированный вариант задачи. Адаптацию можно выполнять применительно к любым математическим заданиям. На уроках, когда ученикам дают задачи с функциями, обычно требуется определить значение на шаге 100 и в общем виде на шаге n. Мы начали не с этого, а с того, что попросили учеников самостоятельно поразмышлять о том, как они представляют себе рост фигуры, прежде чем переходить к групповой работе. Мы предложили им поразмышлять над этим на визуальном уровне, а не с помощью чисел, и нарисовать в своих тетрадях, где они представляют себе дополнительные кубики на каждом шаге. Мальчики по-разному увидели картину происходящего. Люк и Хорхе представили себе рост фигуры в виде прибавления кубиков к нижней части. Позже этот вариант получил в классе название «метод боулинга»: кубики расставляются, как кегли на дорожке. Карлос представил себе рост фигуры в виде кубиков, которые устанавливаются на верхушки столбцов. Этот подход стал известен как «метод дождевых капель» — кубики падают на столбцы сверху, как капли дождя с неба (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Работа учеников

Источник: Selling, 2015.

Поработав над задачей о росте функции индивидуально, ученики обсудили, кто как представляет себе дополнительные кубики на каждом шаге. Поразительно, что они связали свои визуальные методы с количеством кубиков в каждой фигуре; и не только работали со своими методами, но и находили время объяснить их друг другу и применить методы друг друга. Рост функции заинтриговал этих троих мальчиков, и они настойчиво пытались определить значение на шаге 100, вооружившись своими знаниями о визуальном росте фигуры. Мальчики предлагали друг другу идеи, наклонившись над столом и показывая свои рисунки в тетрадях. Как часто бывает в процессе решения математических задач, они перемещались зигзагами, то приближаясь к нужному решению, то отдаляясь от него, а затем снова возвращаясь к нему (Лакатос, 2010). Разные подходы позволяли им тщательно исследовать математический ландшафт.

Я показывала видеозапись работы этих мальчиков на многих конференциях для учителей. На всех произвели впечатление их мотивация, настойчивость и высокий уровень дискуссии. Учителя знают, что настойчивость, которую продемонстрировали эти мальчики, а также уважительность, с которой они обсуждали идеи друг друга, особенно в летней школе, — явление весьма необычное, и им интересно, как мы этого добились. Им знакома ситуация, когда ученики (особенно отстающие) прекращают попытки, если задача трудная и им не удается получить ответ сразу. Но в нашем случае этого не произошло; когда мальчики не смогли двигаться дальше, они вернулись к своим диаграммам и обсудили друг с другом идеи, многие из которых были ошибочными, но в итоге все же смогли найти путь к решению. Показав видеозапись этого случая учителям во время конференции, я спрашиваю их, какие элементы взаимодействия учеников могут помочь нам понять причины высокого уровня их настойчивости и вовлеченности. Ниже представлен ряд важных соображений по поводу благоприятных возможностей для повышения вовлеченности всех учеников.