Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Ученики разделили свою фигуру на 36 треугольников; им было известно, что длина основания треугольника составляет 1 м, а угол при вершине — 10° (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Треугольник, образованный секцией забора длиной 1 м

Но этого было недостаточно, чтобы найти площадь треугольника. И тут учитель объяснил детям суть тригонометрии и способы использования функции тангенса для определения высоты треугольника. Ученики были в восторге: так кстати пришелся новый метод. Я видела, как один мальчик взахлеб объяснял членам своей группы функцию тангенса, оценивая новое знание как «действительно крутое». В этот момент я вспомнила об уроке совсем иного рода, за которым я наблюдала в обычной школе неделей ранее. Учитель объяснил ученикам тригонометрические функции и дал им целые страницы с упражнениями.

Ученики считали, что тригонометрические функции очень скучны и не имеют отношения к их жизни. В школе, придерживающейся проектно-ориентированного подхода, ученики с воодушевлением исследовали тригонометрию и считали эти методы интересными и полезными. В результате они глубже освоили методы. И именно поэтому ученики школы с таким подходом к преподаванию математики более успешны на экзаменах и в жизни.

Второй пример того, как ученики изучали методы после постановки задач, взят из исследования, которое я проводила в США. Оно также показало, что ученики добились гораздо лучших результатов, когда им преподавали математику на основе концептуального подхода, сфокусированного на связях и коммуникации (Boaler & Staples, 2005). Более подробная информация об обоих подходах к преподаванию представлена в моей книге «При чем тут математика?» (Boaler, 2015). Однажды я присутствовала на уроке по началам анализа в успешной школе, которую я назвала Рейлсайд. Урок был посвящен определению объема сложной фигуры. Лора Эванс готовила учеников к изучению анализа и поиску площади под кривой с помощью интегралов, но не стала с самого начала объяснять формальный метод, как обычно бывает. Она поставила задачу, для которой были нужны эти знания, и предложила детям подумать, как ее решить. Задача состояла в том, чтобы найти способ определения объема лимона. Чтобы ученики могли поразмышлять над этим, учительница дала каждой группе лимон и большой нож и предложила исследовать возможные решения (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Чему равен объем лимона?

Источник: Shutterstock (ampFotoStudio).

После того как ученики обсудили эту задачу в группах, некоторые из них подошли к доске и с воодушевлением поделились своими идеями. Одна группа решила погрузить лимон в миску с водой, чтобы вычислить объем вытесненной жидкости. Вторая — тщательно измерить размер лимона. Третья — разрезать лимон на тонкие дольки и представить их себе в виде двумерных сечений, которые они затем разрезали на полоски, приблизившись к формальному методу определения площади под кривой, которому обучают в рамках курса математического анализа (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Вычисление объема лимона по сечениям

Когда учительница объяснила детям метод интегралов, те с воодушевлением приняли его как эффективный инструмент.

В обоих случаях применялся обратный порядок обучения. Ученики узнали о тригонометрических методах и пределах после того, как исследовали задачу и столкнулись с необходимостью в конкретных приемах. Учителя объяснили эти методы в тот момент, когда в них возникла необходимость, вместо того чтобы сначала дать формальную информацию, а потом предложить отработать метод. Это пробудило у учеников огромный интерес к изучаемым методам и помогло понять их.