Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

1. Задача трудная, но доступная. Все три мальчика смогли понять задачу, хотя им было нелегко. Она идеально соответствовала их уровню мышления. Найти задачи, которые идеально подойдут всем ученикам, трудно, но возможно, когда мы расширяем их: приводим к виду, который я называю «низкий пол, высокий потолок». Пол низкий, потому что все могут видеть, как растет фигура, а потолок высокий, поскольку функция, которую изучали мальчики, — квадратичная, с помощью которой шаг n может быть представлен в виде (n + 1)² блоков. Мы сделали «пол» ниже, предложив ученикам поразмышлять на визуальном уровне, хотя, как я покажу ниже, это не единственная причина для такой важной адаптации.

2. Мальчики восприняли задачу как головоломку, поэтому им было интересно искать решение. Вопрос не касался «реального мира» или жизни мальчиков, но увлек их. В этом и состоит сила абстрактной математики: она подразумевает открытое мышление и установление связей.

3. Рассуждения на визуальном уровне помогли мальчикам понять, как растет закономерность в задаче. Мальчики увидели, что представленная фигура растет как квадрат со стороной (n + 1), рассмотрев рост закономерности визуально. Они искали сложное решение, но были уверены в себе: им помогало визуальное представление происходящего.

4. Мальчиков воодушевило, что каждый из них разработал свой способ визуального представления роста закономерности и все они нашли правильные методы, раскрывающие разные аспекты решения. Мальчики с воодушевлением поделились своими мыслями друг с другом и использовали свои идеи и идеи других при решении задачи.

5. Урок был организован так, чтобы ученики стремились предлагать идеи без страха совершить ошибку. Это позволило мальчикам двигаться дальше, когда они «застревали», предлагая идеи (и правильные, и ошибочные), которые позволят продолжить обсуждение.

6. Мы научили учеников уважать мнение друг друга. Мы призывали отдавать должное широте мышления каждого ученика, а не процедурному мышлению отдельных детей, а также давали высокую оценку разным способам визуального представления задач и установления связей.

7. Ученики использовали свои идеи, а не придерживались метода, взятого из учебника по алгебре. Они предложили разные идеи по поводу визуального представления роста функции, поэтому им было еще интереснее решать задачу.

8. Мальчики работали вместе. На видео заметно, как мальчики поняли друг друга, делясь идеями в процессе обсуждения, и получили еще большее удовольствие от работы.

9. Работа мальчиков носила смешанный характер. Люди, которые смотрят это видео, отмечают, что каждый ученик предлагает что-то особенное и по-своему важное. Сильный постоянно выкрикивает догадки по поводу чисел (эта стратегия могла бы быть полезной для сугубо процедурных вопросов), а слабые подталкивают его к тому, чтобы он размышлял на визуальном и более концептуальном уровне. Именно такое сочетание разных способов мышления помогает мальчикам и приводит их к успеху.

Как правило, в задачах на рост закономерности ученикам задают числовые вопросы вроде «Сколько кубиков на шаге 100?» и «Сколько кубиков на шаге n?» Мы тоже поставили ученикам такие вопросы, но только после того, как они поработали над задачей сами, чтобы они проанализировали рост фигуры на визуальном уровне. Это изменило все.

Как показано на рис. 5.3–5.10, люди представляют себе рост фигуры разными способами. Не предлагая ученикам мыслить визуально, мы упускаем прекрасную возможность помочь им лучше понять происходящее. Ниже показано, как учителя и ученики, с которыми я работала, представляют себе рост фигуры, и приведены названия, которые они использовали для обозначения своих вариантов.

Рис. 5.3. Метод дождевых капель — кубики падают на столбцы с неба, как капли дождя

Рис. 5.4. Метод боулинга — кубики расставляются, как кегли на дорожке для боулинга

Рис. 5.5. Метод вулкана — средний столбец растет в высоту, а остальные растекаются, как лава из вулкана

Рис. 5.6. Метод расхождения вод Красного моря — два столбца расходятся, и между ними появляется еще один

Рис. 5.7. Метод подобных треугольников — уровни можно рассматривать в виде треугольников

Рис. 5.8. Метод сечения — уровни можно рассматривать по диагонали

Рис. 5.9. «Лестница в небеса: в доступе отказано» — из фильма «Мир Уэйна»

Рис. 5.10. Метод квадратов — любую фигуру можно перегруппировать, сделав из нее квадрат