Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Во всех этих примерах в центре оказалась математическая задача, подкрепленная грамотным подходом к преподаванию. Ниже представлен обзор важных элементов постановки этих шести задач, которые можно применить ко всем математическим задачам независимо от этапа обучения. Вдобавок во всех случаях ученики взаимодействовали друг с другом, иногда размышляя самостоятельно, но чаще вместе работая над идеями на уроках и получая позитивные сигналы по поводу мышления роста. Ниже представлено описание способов включения этих важных структурных элементов в любую математическую задачу.

От примеров к разработке задач

Непродуктивный период в сфере образования завершается. С тех пор как правительство Буша приняло закон «Ни одного отстающего ребенка» (No Child Left Behind Act), учителя были вынуждены придерживаться «предписанной» программы и пошаговых инструкций, хотя знали, что вредят ученикам. Многие считали, что это снижает их профессиональный уровень: ведь их лишили возможности принимать важные решения по поводу преподавания. К счастью, приходит новое время: учителям доверяют принимать важные профессиональные решения. Один из аспектов преподавания, ориентированного на развитие математического мышления, который интересует меня больше всего, — перемены, которые мы можем внести в уроки математики, давая ученикам важную информацию и делая математические задачи открытыми. Это обеспечивает пространство для обучения и играет важнейшую роль в формировании математического мышления.

Учителя могут найти немало интересных задач на сайтах, которые перечислены в конце этой главы. Но у многих на это нет времени. К счастью, учителям не нужно искать новые учебные материалы: они могут изменить задачи, которые уже используются, расширив их с целью создания новых, более благоприятных возможностей для учеников. Для этого может понадобиться развить свое мышление и учиться разрабатывать задачи: предлагать новые идеи и создавать новый, улучшенный опыт обучения. Воодушевление, о котором шла речь выше, порой было связано с адаптацией знакомых задач. Например, в задаче с растущими фигурами ситуация полностью изменилась после того, как ученики получили простое указание визуализировать рост фигуры, что позволило им увидеть задачу по-новому. Когда учителя сами создают и адаптируют задачи, они становятся максимально эффективными. Это под силу каждому, здесь не нужна специальная подготовка. Легко знать свойства математических задач и работать с ними, стремясь к их совершенствованию.

В рамках разработки и адаптации задач, ориентированных на успешное изучение математики, существует шесть вопросов, которые повышают эффективность работы, если ставить их и действовать в соответствии с ними. Некоторые задачи лучше подходят для конкретных вопросов; многие задачи и вопросы сочетаются естественным образом. Но я уверенно могу сказать: уделив внимание хотя бы одному из следующих шести вопросов, можно сделать задачу более содержательной.

1. Можете ли вы раскрыть задачу так, чтобы она стимулировала применение разных методов, путей и способов представления?

Учителя способны раскрыть задачи так, чтобы стимулировать учеников к размышлениям над разными методами, путями и способами представления. Раскрывая задачу, мы усиливаем ее учебный потенциал. Это можно сделать разными способами. Включить требование о визуальном представлении (как в задачах с растущими фигурами и с отрицательным пространством) — отличная стратегия. Еще один очень эффективный способ состоит в том, чтобы предложить ученикам придать своим решениям смысл.

Кэти Хамфриз — замечательная учительница. В книге, которую мы с ней написали вместе, представлено описание шести видео с записью того, как Кэти проводит уроки в своем седьмом классе, а также планы этих уроков. На одном из них показано, как Кэти предлагает ученикам решить такую задачу: 1 разделить на ²/₃. Это мог бы быть закрытый вопрос, ориентированный на фиксированное мышление, с одним ответом и одним методом. Но Кэти изменила задачу, включив в нее два задания: придать своему решению смысл и представить визуальное доказательство. Кэти начинает урок так: «Вероятно, вы знаете правило, с помощью которого можно решить задачу, но сегодня оно не имеет значения; я хочу, чтобы вы объяснили, почему ваше решение имеет смысл».