Математика для гиков

В 1968 году немецкий математик Дитрих Браес обнаружил странную особенность сетевых систем, которая, казалось, бросает вызов здравому смыслу. Доктор Браес, который сейчас преподает в Рурском университете в Бохуме в Германии, изучал транспортный поток и заметил, что в некоторых случаях, когда поток машин был сильным, дополнительные дороги на самом деле только ухудшали ситуацию. Точно так же удаление дорог из некоторых районов, перегруженных трафиком, позволяло автомобилям легче передвигаться. Эта идея была не просто нелогичной; она противоречила догматам городского планирования. Как такое возможно?

В основе открытия Браеса лежит тот факт, что все водители эгоистичны. Они не координируют свои планы по вождению с другими водителями, и каждый хочет выбрать самый быстрый маршрут из точки А до точки Б. Например, представьте, что существуют два пути от центра города до торгового центра в пригороде. Каждый путь состоит из двух частей: одна секция дороги, которую водители могут проехать за 30 минут, и другая секция, более узкая, так что время на то, чтобы ее проехать, зависит от количества машин, которые по ней едут. (Можно сказать, время, которое необходимо для проезда этого участка, равно Т/5, где Т – количество машин на этом участке.) Также нужно отметить, что, хотя оба пути от центра города до торгового центра включают в себя два участка дороги, они появляются в разном порядке. (То есть на маршруте А узкая дорога идет до 30-минутной дороги, и наоборот для маршрута Б.)

Как долго 200 водителей будут добираться из центра города до торгового центра? Так как оба маршрута одинаковы – единственное отличие состоит в том, что участки дороги меняются местами, – мы можем предположить, что половина водителей выберет один маршрут, а другая половина – второй, и, таким образом, время в пути для каждого маршрута составит 50 минут.

Водитель на одном из маршрутов не будет иметь причины, чтобы поменять его, так как он не сэкономит на этом время. (В такой ситуации, когда вовлечено множество людей и каждый понимает, что будет делать другой на его месте, и никто не собирается менять свою стратегию, люди находятся в равновесии Нэша – см. главу 2.14).

Теперь представим, что между маршрутами построили более короткий путь в том месте каждого маршрута, где встречаются два участка. Эту дорогу можно проехать очень быстро. Теперь водители обоснованно захотят использовать один и тот же маршрут: они могли бы проехать участок Т/5 маршрута А, потом поехать по короткому пути, а потом по участку Т/5 маршрута Б. (Такой путь будет иметь зигзагообразную форму.) Но естественно, что все 200 водителей захотят так поехать, чтобы сократить время в пути, то есть путь займет 200/5 + 200/5, или 80 минут. Водители будут знать, что могут срезать дорогу, поэтому все выберут этот маршрут. В результате транспортный поток ухудшится.

Идея сокращения вариантов выбора для улучшения условий движений была использована в реальных городах, включая Сеул, столицу Южной Кореи. Когда шестиполосная дорога, проходящая через центр города, была демонтирована в середине 2000-х и на ее месте построили парк длиной в 5 миль, движение на самом деле стало более эффективным. Машины ехали по дорогам, которые уже существовали. Результат, может, бросил вызов здравому смыслу, но математика помогла открыть его мудрость.

Линии электропередач

Парадокс Браеса применяется не только к дорожному движению. В исследовании, опубликованном в 2012 году, ученые из института динамики и самоорганизации Макса Планка показали, что добавление линий электропередач к электросети не обязательно повышает ее производительность. Вместо этого новые линии могут в конечном итоге дестабилизировать ее, в зависимости от того, где они находятся по отношению к существующим линиям; поэтому меньшее количество линий иногда приводит к большей эффективности электросети.

2.25. Сколько раз вы можете сложить лист бумаги?

Математическое понятие: экспоненциальный рост

Возьмите в руки лист бумаги. Сложите его пополам. Теперь опять сложите его пополам. Как долго, по вашему мнению, вы сможете его складывать? Эта математическая задача известна как проблема простыни, но она также с легкостью применима и к бумаге, полотенцам, фольге, лапше и всему, что вы можете сложить. В течение многих лет математики считали, что нельзя ничего согнуть больше 7 раз. Однако в 2002 году учащаяся средней школы в городе Помона, штат Калифорния, установила рекорд, сложив очень длинный лист туалетной бумаги – длиной в 4000 футов, если быть точным – 12 раз. Она это сделала, складывая в одном направлении и только после расчетов, которые установили длину бумаги, которой она должна обладать.