Математика для гиков

И что? Складывание чего-нибудь пополам вновь и вновь – это хороший пример для понимания экспоненциального роста. Когда размер (или число) растет экспоненциально, то на каждом этапе он принимает большее значение, а так как базисная величина растет каждый раз, то результат также очень быстро растет. Например, давайте возьмем обычный лист из блокнота с отрывными листами, толщина которого примерно составляет 1/10 миллиметра. Сложив его пополам, мы получим толщину, равную 2/10 миллиметра, сложив лист еще раз, мы получим 4/10 миллиметра. После того как мы сложим его 25 раз, толщина бумаги будет составлять 1 километр. После того как мы сложим его 42 раза, его толщины хватит, чтобы достать до Луны. После того как мы сложим его 81 раз, толщина бумаги охватит 127 786 световых лет. А после того, как мы сложим его 103 раза, бумага займет больше пространства, чем видимая часть Вселенной (примерно 93 миллиарда световых лет).

Проблема туалетной бумаги

Специалист по компьютерным наукам Дональд Кнут однажды провел исследование о двухроликовых диспенсерах туалетной бумаги в общественных туалетах, в процессе он разделил людей на две группы. Одни берут бумагу из большего рулона, другие – из меньшего. В его исследовании он изучил вероятность того, к какому типу относится тот или иной человек и как это влияет на количество бумаги, оставшейся на рулоне, используя разные математические уравнения.

2.26. Да, существует более эффективный способ посадки на самолет

Математическое понятие: эффективность

Возможность полета из Лос-Анджелеса в Нью-Йорк за 5 часов является чудом, но вот процесс посадки на самолет превращает это чудо в неприятность. Обычно пассажиры производят посадку на самолет все вместе, но хотя этот метод нацелен на предотвращение заторов, всегда будут неизбежны задержки, так как людям нужно время, чтобы положить багаж в отсеки над их головами. Кроме того, люди, чьи места у окна, часто ждут, пока те, которые уже сели в центре и у прохода, встанут, чтобы они могли сесть. Все эти факторы создают головную боль для уставшего путешественника, а потерянное время стоит денег авиакомпаниям.

Математики бросили свои умы на то, чтобы сделать посадку на самолет не таким суровым испытанием, и нашли решение. Секрет кроется в распределении и местах. Первыми должны садиться люди с местами на нечетных рядах. В этом случае между теми, кто пытается всунуть свой багаж в отсеки над головами, всегда остается один свободный ряд, что даст им пространство для маневров. Дополнительным требованием является то, что среди них первыми должны занять свои места люди, сидящие у окна. Затем идут те, кто сидит в центре, а потом те, кто сидит у прохода. Такой метод гарантирует, что никто не будет никого поднимать, чтобы сесть на свое место, и время будет сведено к минимуму. Весь процесс затем повторяется для тех, кто сидит на четных рядах. На деле этот метод настолько эффективен, что пассажиры производят посадку за 1/6 времени, которое обычно нужно для посадки. Так почему же авиакомпании не пользуются этим математическим методом? Может, математикам стоит приняться за работу, чтобы ответить на этот вопрос.

Авиалинии Southwest

Авиалинии Southwest не дают мест, то есть люди вольны выбирать те места, которые они сами захотят, согласно номеру на посадочном талоне. (Этот номер присваивается при регистрации пассажира, но за дополнительную плату они могут получить номер получше – см. главу 2.14.) Неясно, является ли такой метод более эффективным, так как в уравнении присутствует степень случайности.

3. Часть 3. Примеры

Мозаика

Математическое понятие: геометрия

Тот постер М. К. Эшера, который, возможно, висел на стене вашей комнаты в общежитии, имеет больше связей с математикой, чем вы можете предположить. Рисунки Эшера являются примерами мозаики, замощения двухмерного пространства, такого, как лист бумаги, геометрическими фигурами так, что эти фигуры не накладываются друг на друга и между ними существует очень маленькое расстояние. Как доказывают иллюстрации Эшера, эти фигуры не обязательно должны быть треугольниками или квадратами, они могут быть птицами, ангелами, рыбами или каплями. На самом деле, мозаикой можно считать и пазл. Кусочки соединяются друг с другом и полностью заполняют пространство готового пазла без зазоров. Но мозаику можно найти не только в работах Эшера. Мозаика встречается как в необычайных плитках Альгамбрн в Испании, шестисторонних клетках в пчелиных сотах, так и в геометрических узорах, которые покрывают стены и полы древних римских построек, и в лоскутных одеялах.

Мозаика оказалась плодородным разделом математики. На протяжении веков математики обнаруживали, что мозаика принимала различные формы:

• Некоторые мозаики являются периодическими, их узоры повторяются, а другие – непериодическими, их узоры не повторяются.