Математика для гиков

Одним из самых благозвучных сочетаний из двух нот или интервалов является октава, в которой соотношение частот между звуками составляет 1:2. Если вы посмотрите на клавиши пианино, то примером октавы будет центральная нота «до», сыгранная вместе со следующей нотой «до». (Две ноты «до» будут отделять шесть белых клавиш.) Октавы также можно представить в виде соотношений. Так как одна нота в каждой октаве имеет частоту, которая будет в два раза выше, чем у другой, то соотношение будет равно 2:1. У других интервалов будут свои соотношения, а также определения «чистые», «уменьшенные», «увеличенные». (Понятие «чистого» интервала относится к интервалу, который наиболее благозвучен для большинства людей. «Увеличенный» интервал – это «чистый» интервал, к которому добавили полутон. Например, сочетание нот «до» и «соль» дают чистую квинту, а ноты «до» и «соль-диез» – черная клавиша или полутон выше «соль» – дают увеличенную квинту.) Соотношение чистой квинты равно 3:2, а соотношение большой терции – интервала, состоящего из 4 полутонов, – 5:4. Когда мы думаем о комбинациях нот в плане соотношений, это помогает выявить скрытую математику в музыке, которую мы слышим каждый день.

Неприятная музыка

Используя технологии, разработанные в 1950-х для улучшения морских гидролокаторов, математик Скотт Рикард создал музыкальное произведение без повторов, но это не значит, что оно было абсолютно беспорядочно, и назвал его «самой неприятной музыкой в мире».

3.4. Игра Го

Математическое понятие: комбинаторика

Многие игры имеют математическое подспорье, но, пожалуй, одна из них выделяется больше всех – это игра Го. Считается, что она была изобретена в Китае примерно 4000 лет назад. Эта игра особенно популярна в Китае, Японии и Корее и постепенно завоевывает западное сознание. (Например, американская ассоциация Го была создана лишь в 1935 году.) Правила игры просты: у одного игрока есть коллекция черных камней, а у другого – белых. Доска, которая обычно сделана из дерева, разделена на 19 × 19 линий, то есть сетка состоит из 19 полос и 19 столбиков. Игроки ставят камни на пересечении линий сетки с целью захвата и защиты территории. Вы можете захватить вражеский камень, окружив его своими камнями. Когда камень окружен, его убирают с доски.

Го практически утопает в математике. Например, посчитайте количество допустимых позиций: чуть больше, чем 2 × 10¹⁷⁰, а когда вы узнаете, что число атомов в известной нам Вселенной равно примерно 10⁸⁴, то эта цифра покажется еще невероятнее. Большие числа появляются также, когда вы сравниваете Го с шахматами. Когда в шахматы играет компьютерная программа, она может проанализировать последствия каждого хода, вплоть до семи ходов вперед. Но если компьютер применил бы эту технику к Го, то у него бы быстро случилась перегрузка. В шахматах компьютер может прорабатывать до 60 миллиардов возможностей во время каждого хода. Однако, чтобы думать на семь ходов вперед в Го, компьютеру придется просмотреть 10 000 триллионов возможностей.

Эта игра также помогла появиться совершенно новому классу чисел. В 1970 году математик Джон Конвей из Кембриджского университета изучал игру Го, в которую играли два мастера, и в результате пришел к идее сюрреальных чисел. Вы можете рассматривать сюрреальные числа как наборы инструкций, чтобы найти определенные числа на числовой прямой с помощью серии движений вверх и вниз. Все действительные числа – которые состоят из целых чисел, дробей, положительных, отрицательных и иррациональных чисел – считаются сюрреальными, но некоторые сюрреальные числа не являются действительными. В сущности, сюрреальные числа – это новый набор чисел (как рациональные или целые числа), которые вы можете найти на числовой прямой с помощью серии ходов: вниз, вверх, влево, вправо. Одним особенно большим сюрреальным числом является омега, это число на числовой прямой, когда вы следуете вправо бесконечное количество времени. (Омега – это наименьшее сюрреальное число, которое больше, чем любое действительное число.) В любом случае, толчком для этого открытия стала игра Го, и по сей день она приносит математическое удовольствие миллионам людей по всему миру.

Отелло

Отелло – это игра, чем-то напоминающая Го, ее изобрели в 1880-х два англичанина, изначально она называлась Реверси, хотя игры имеют достаточные различия. В обеих играх игроки окружают камни противника, в Отелло окруженные камни, черные с одной стороны и белые с другой, переворачиваются. В Го окруженные камни остаются того же цвета. Кроме того, доска в Отелло имеет разлиновку 8 × 8, что куда меньше, чем 19×19 в Го.

3.5. Шахматная доска и пшеница

Математическое понятие: геометрическая прогрессия