Математика для гиков

• Некоторые мозаики правильные: они образованы путем повторения одного правильного многоугольника, фигуры, у которого стороны и углы имеют одинаковый размер. (Например, квадрат.)

• Другие мозаики являются полуправильными, то есть состоят из более чем одного правильного многоугольника.

Анализ продолжается. В 1891 году русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что правильные мозаики входят в одну из 17 категорий. И существует 8 видов полуправильных мозаик.

Это все доказывает, что математика – не только вычисления. Математика – это еще и нечто удивительное и ценящее красоту фигур.

Художник-график из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер провалил экзамены, которые позволили бы ему заниматься архитектурой. Но поездка в Альгамбру, мавританский дворец XIV века, вдохновила его сконцентрироваться на создании рисунков, которые полностью заполняли бы пространство. Остальное уже история.

3.2. Существуют 177 147 способов завязать галстук

Математические понятия: геометрия, топология

Источник вдохновения для математики можно найти повсюду. Например, у математика Микаэля Вейдемо-Йоханссона из Института Йозефа Стефана в Словении возникла идея во время просмотра «Матрицы». Он заметил, что персонаж Меровинген носил галстуки с необычными узлами; один из них больше всего ему запомнился, так как складывалось впечатление, что сам галстук носил галстук. Заинтригованный, Микаэль провел исследование и выяснил, что команда из Кембриджа опубликовала исследование об узлах в математике. Два исследователя разделили завязывание галстука на серию шагов, которые могут быть представлены в виде букв. (Вот некоторые из них: «Л» – влево, «П» – вправо, «Ц» – центр, «Т» – когда конец галстука продевается через узел.) Они разделили возможные узлы на 101 категорию, в зависимости от общего количества действий и количества центрирующих движений – в общей сложности получилось 85 узлов.

Однако проблема заключалась в том, что узел Меровингена в этот список не входил. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что исследователи из Кембриджа – Йон Мао и Томас Финк – сделали два предположения, которые ограничили количество возможных узлов. Во-первых, они поставили условие, что все узлы должны быть покрыты ровным куском галстучной ткани, а во-вторых, движение, при котором один конец галстука вставляется в узел, должно выполняться в самом конце процесса. Вейдемо-Йоханссон обнаружил, что если бы он упростил формальный язык представления узлов галстуков и увеличил количество раз, когда один конец галстука мог оборачиваться вокруг другого, с 8 до 11, то он получил бы 177 147 возможных узлов. Он и еще два его товарища нашли 2046 категорий для петляющих узоров, которые могут потребовать до 11 действий.

Так что в следующий раз, когда вам надоест, как вы завязываете свой галстук, вспомните, что у вас достаточно вариантов, которых хватит вам на всю оставшуюся жизнь!

Узлы галстука

Когда вы только начали носить галстуки, вы, вероятнее всего, познакомились с простым узлом, который легче всего завязывается. Узел «Виндзор» – это более сложный узел, он стал популярным благодаря герцогу Виндзорскому и лучше всего подходит для рубашек с широким воротником.

3.3. Малоизвестные связи между музыкой и математикой

Математические понятия: теория чисел, пропорции

У музыки и математики всегда были тесные отношения. Начиная с эпохи пифагорейцев и древних греков до композиций Баха, которые порой звучат как теоремы, превращенные в звук, и сложной структуры нотной грамоты – с четвертными нотами, гаммами и темпом, – музыка воплощает математику таким образом, как это могут делать не многие дисциплины. С одной стороны, математика в музыке очевидна: числа встречаются повсюду. Например, некоторые произведения имеют размер 4/4, вальсы – 3/4, а славянская музыка – 12/16. Некоторые ноты звучат в течение всего такта, другие же только 1/16 долю этого такта. Темп относится к количеству ударов в единицу времени. Метры говорят музыканту, сколько ударов в каждом такте и какая нота должна получить удар. Неважно, куда вы смотрите, музыка пронизана математикой.

Однако с другой стороны, математика в музыке не так очевидна, но эта спрятанная математика является основой всей музыки, независимо от того, в каком уголке мира она встречается. Этот скрытый математический аспект – характеристика музыкальных интервалов. Сыграйте две ноты на пианино одновременно, и в результате сочетание нот прозвучит или благозвучно, или ужасно.