Математика для гуманитариев. Живые лекции

Если поверхность шара «сшита» регулярным образом из некоторого количества х шестиугольников и некоторого количества у пятиугольников, то у обязательно равно 12.

Слушатель: В любом случае?

А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300… Но у = 12. Ровно 12, не 12000, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не зависит, от того, как сшивать, не зависит. Это — математическая теорема.

Слушатель: Невероятно…

А.С.: Есть абсолютное доказательство этой теоремы. Если вы хотите сшить футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников, пятиугольников обязательно будет ровно 12.

Слушатель: Какой диаметр?

А.С.: Не важно: ни диаметр, ни размер лоскутков, ни то, как сшивать. Вы никогда не сошьете ничего другого. Какие бы приказы не издавала… ну, скажем, фабрика «Спортинвентарь». Скажем, придет к власти новая футбольная партия и скажет: «Отныне сшивать мячи так, чтобы в них было поровну шестиугольников и пятиугольников». Тогда их обязательно будет 12 к 12.

Слушатель: То есть такое тоже может быть? Прямо 12 к 12?

А.С.: Да. А знаете, как еще может быть? Ноль шестиугольников и 12 пятиугольников. Ни одного шестиугольника, одни пятиугольники.

Слушатель: А зачем тогда шестиугольники?

А.С.: Видимо, для того, чтобы мяч был гладкий. Ноль шестиугольников — 12 пятиугольников. 200 шестиугольников — всё равно 12 пятиугольников.

Слушатель: Скажите, а вот эта теорема появилась уже после футбольного мяча? Или футбольный мяч появился раньше?

А.С.: Футбольный мяч появился «чуть-чуть» раньше. Если честно, теорему эту полностью осознали примерно 150 лет назад. Но этот результат, как и очень многие другие, должен быть отнесен к Эйлеру. Леонард Эйлер жил больше половины жизни в Петербурге и похоронен там же на Смоленском лютеранском кладбище. Он ввел в математику понятие инварианта. Эйлер показал, что есть в математике такие вещи, которые не меняются, что бы ты ни делал. И настоящая математика — это поиск таких вещей. Эйлер доказал потрясающую по красоте формулу, сейчас я ее нарисую, а может быть, даже докажу. Кстати, есть такой архитектурный объект «Монреальская Биосфера» или геодезический купол, созданный Ричардом Фуллером Бакминстером. Гигантский сегмент шара, чуть больше, чем полушар, составленный из маленьких шестиугольников. Я, когда его увидел, сказал: «Нет. Нет. Нет… Вы не правы, там не могут быть все шестиугольники, либо он сильно искривлен, либо там где-то живут пятиугольники. Ищите».

Мне говорят: «Алексей, как вы это угадали? Мы нашли 5-угольники». Эта конструкция не полный шар, поэтому в ней не 12, а примерно 7 пятиугольников. Как же я узнал? Теорема, математика. Она же универсальная для всего. Что абсолютно одинаково в России, в Канаде и в Америке? Только математика.

Слушатель: Положение этих пятиугольников, оно тоже определено?

А.С.: Нет. Можно их все сцепить в одном месте. Только получится сильно искривленная форма. Лучше пятиугольники разнести. Пятиугольники отвечают за искривление. А что такое искривление? Беру Земной шар и рисую на нём треугольник (рис. 24).

На Земном шаре есть где развернуться. Одну из вершин возьмем на Северном полюсе, две другие — на экваторе. А сторонами треугольника, как и положено в геометрии, будем считать отрезки двух меридианов и отрезок экватора (ведь по ним измеряется кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности!).

Рис. 24. Сейчас мы заколдуем этот треугольник на сфере, и у него все три угла будут прямыми.

Вот и получился у нас равнобедренный треугольник, у которого оба угла при основании прямые. А угол при Северном полюсе — любой. Так давайте возьмем его тоже прямым!!!

У нарисованного нами треугольника все углы прямые. Такого не бывает на плоскости. Это геометрия шара, поверхности шара, и вот с этой геометрией связан рассматриваемый нами факт. Он открывает очень глубокую теорию — дифференциальную геометрию, а также теорию римановых многообразий. Вернемся к футбольному мячу, состоящему из х шестиугольников и у пятиугольников, и к нашей «неожиданной теореме».

Слушатель: Кратен ли х чему-нибудь?

А.С «x» может быть равен чему угодно. А вот «у» обязательно равен 12.

Слушатель: То есть четное, нечетное — не важно.

А.С.: Абсолютно.

Слушатель: То есть мы можем сделать шар из 130 шестиугольников и 12 пятиугольников, или из 131 и 12?

А.С.: Да, надо подумать и аккуратненько вклеить эти наши 12 пятиугольников.

Слушатель: А связано ли это с количеством сторон в пятиугольнике и в шестиугольнике?