Математика для гуманитариев. Живые лекции

Чтобы лучше понять это, представьте себе, что наша Земля сплошь покрыта мировым океаном, на котором имеется (на экваторе) только один небольшой остров вроде Крита. Поверхность этого океана является двумерной сферой, но свойства у нее похожи на свойства трехмерной сферы. И выплыли с этого острова два одинаковых корабля (в один и тот же момент времени): один поплыл ровно на запад, другой — ровно на восток. Плыли они быстро и потому очень сильно столкнулись (в точке, диаметрально противоположной острову Криту). От столкновения они могли взорваться. После отплытия прочие люди следили за ними, посылая вслед радиоволны (а они, как известно, могут огибать поверхность Земли). На экране радара и на западе, и на востоке всё время был виден какой-то странный правильный пятиугольник (оказалось, что это — радиомаяк из пяти источников, построенный кем-то на противоположной точке поверхности Земли). Корабли взорвались как раз в центре этого пятиугольника. Взрыв был зафиксирован одновременно и западным, и восточным радаром.

Сверху из нашего трехмерного мира мы видим, что тор и сфера — разные объекты. Но глазами червя, который ползает по двумерной поверхности, этого не видно, всё одинаковое. Вопрос: как же доказать червю, что поверхности разные?

Допустим, что у червя есть мышление, он может воспринять математическое рассуждение. Как я могу передать ему знание? А вот как. Я ему говорю: «Ты можешь, экспериментально исползав сферу, проверить, сколько здесь вершин?» Он говорит: «Ну, конечно могу. Я постепенно все их обползаю, поставлю метку, найду алгоритм, которым я посчитаю количество вершин». Тогда я спрошу: «Можешь ли ты посчитать количество ребер?» — «Ну, конечно, могу», — говорит он. «А граней?» — «Тоже могу. Нет проблем никаких. Каждый раз переходя из грани в грань, заливаю ее водой. В следующий раз я к ней приду, а она уже мокрая, значит, я ее уже посчитал». Понятно, что, находясь на двумерной поверхности, не выходя в трехмерное пространство, можно посчитать, сколько ребер, вершин и граней. Теперь, если я пересажу червя на тор, он посчитает вершины, грани и ребра и убедится, что индекс Эйлера имеет другое значение. На сфере — 2, а на торе — 0. Тут я ему и скажу: «Теперь ты понимаешь, что поверхности абсолютно разные, они с нашей человеческой трехмерной точки зрения абсолютно разные. Они с твоей точки зрения одинаковые, потому что ты видишь локально, а с нашей трехмерной — они разные». То же самое происходит с нашей трехмерной вселенной, с точки зрения четырехмерного пространства. Наше пространство может быть устроено по-разному, но Г. Перельман доказал теорему, которая ограничивает класс того, что нам нужно проверять, когда мы выясняем, где живем.

Слушатель: А как Эйлер пришел именно к этой формуле?

А.С.: Честно говоря, я не знаю, но он вообще был гений. Говорят, что у него никогда не было математических ошибок и неверных утверждений. Даже не совсем обоснованные рассуждения Эйлера (после их очевидной коррекции) были впоследствии подтверждены. Видимо, он настолько верно чувствовал ситуацию, как будто внутри него находился «барометр правильности», с которым он постоянно сверялся.

Математика — это прозрение. Вы идете по парку, вокруг листья шелестят, бах — и вы всё поняли. Это не от вас, это как бы сверху идет.

Сейчас я буду доказывать, что на сфере индекс Эйлера равен 2, а на торе он равен 0, и, может быть, вам будет ясно, как Эйлер к этому пришел.

Рис. 33. Накидываем «сеть» из ребер и вершин на верхнюю половину сферы и на небольшой кусок поверхности тора. Нижняя часть сферы может трактоваться как одна гигантская грань (грани не обязательно должны быть треугольными). Оставшийся кусок тора НЕ МОЖЕТ считаться «гранью», так как грань не может выглядеть как трубка. Надо эту трубку подразбить на более мелкие части (на треугольники, квадратики и т. д.).

Допустим, я уже сформировал «сеть», покрывающую сферу, и «сеть» для тора (рис. 33).

Стираю одно ребро на сфере (потом буду стирать ребра и на торе). Что меняется вот в этом нашем выражении (то есть В − Р + Г)?

Слушатель: Минус одно ребро.

Слушатель: Минус одна грань.

А.С.: Значит, выражение В − Р + Г не изменилось (рис. 34).

Рис. 34. Укрепляем «страны» за счет удаления участков границ. Начинать удаление можно с любого ребра.

Какие еще операции я могу сделать с этой картинкой? Могу убрать еще одно ребро. Опять ничего не изменится. Но в какой-то момент меня ударят но рукам. Некоторые вершины могут стать странными (что-то вроде куска забора в чистом поле).

Может получиться «висячая вершина» — она связана с единственным ребром (может быть и несколько таких кусков, см. рис. 35).

Рис. 35

Давайте превратим вот такое ребро во что-нибудь человеческое (только не в человеческое ребро!). Что для этого надо сделать?

Слушатель: Выпрямить.

А.С.: Да. Удалить вершину и выпрямить границу, убрав ненужный «кусок границы». Что изменилось?

Слушатель: Минус вершина.

Слушатель: Минус ребро.