Математика для гуманитариев. Живые лекции

А.С.: Итак, если вы поверили, что не изменится ни количество вершин, ни количество ребер, ни количество граней, то всё остальное я докажу совершенно строго. Я продемонстрирую, что величина В − Р + Г на шаре и на торе разная: на автомобильной камере она равна 0, на сфере — равна 2.

Слушатель: А если предположить, что дырка у тора имеет площадь ноль. По-прежнему число Эйлера — 0?

А.С.: А что значит «площадь дырки»? Это значит, что бублик сходится в одной точке — в серединке?

Слушатель: Да.

А.С.: Нет, эйлеров индекс В − Р + Г будет другой. Фигура, которая получится, не устроена как обычная плоскость в окрестности любой своей точки, потому что в окрестности серединки, где дырка сходится с разных сторон, она устроена очень сложно.

Чтобы понять это, рассмотрим сечение тора (с заклеенной дырой) вертикальной плоскостью, проходящей в стороне от точки заклейки, а также плоскостью, проходящей через точку заклейки. Рассмотрим две замкнутые кривые, получившиеся в сечениях (см. рис. 31).

Рис. 31

Первая кривая устроена как окружность, окрестность любой ее точки — просто интервал, а вторая кривая устроена иначе (рис. 32). Потому что в любой микроскоп окрестность точки пересечения видится как крест, а не как отрезок. То же самое с тором — с автомобильной камерой. С точки зрения таракана, который по ней ползает, это просто плоскость (если, конечно, дырка в торе не была заклеена). Но и шар с точки зрения таракана тоже плоскость (ведь он в каждый момент времени видит только маленький кусочек «у себя под носом», а он почти плоский). То есть смотрите, что происходит. Таракан, который ползает по тору и по шару, не может понять, что это разные объекты. Мы такие же тараканы, мы живем в трехмерном пространстве, мы трехмерные тараканы. Мы знаем, что вокруг нас есть окрестность. Окрестность это обычное трехмерное пространство: его определяют 3 взаимно перпендикулярных оси. То есть я вижу трехмерную окрестность вокруг себя, но я не знаю, как устроена вся вселенная целиком. Я не могу иметь такого представления. Так вот: топология приоткрыла эту тайну. Гипотеза Пуанкаре как раз про то, как устроено пространство, где мы живем. Мы видим, что вокруг нас всё трехмерно, но мы не знаем внутри какого рода объекта мы живем. То ли мы живем в обычном бесконечном трехмерном пространстве, то ли мы живем на поверхности трехмерной, извините, сферы, которая ограничивает четырехмерный шар. Не можем мы этого понять, просто посмотрев вокруг себя. Ведь радиус такой «трехмерной сферы» может равняться, скажем, 100 миллионам световых лет. А на такие расстояния глаз посмотреть не способен.

Рис. 32. Слева — простая замкнутая кривая (не пересекает сама себя). Справа — что-то вроде дороги с перекрестком. Топологический тип этих двух одновременных объектов разный.

Врезка 3. Еще одно упражнение для слушателей. Ниже описано странное путешествие неких космических Магелланов. Могло ли такое быть в космосе?

… Все астрономы Земли в 3333 году нашей эры были в глубоком недоумении. Один из них, направляя свой телескоп в разные точки небесной сферы, имел привычку фотографировать не только ее, но и (перейдя в другое полушарие Земли), фотографировать также диаметрально противоположную ей точку. Накопив изрядное количество таких пар фотографий, он принялся их изучать. И вдруг — сюрприз: на одной из двух фотографий пары он увидел маленькое, но вполне различимое созвездие в виде правильного пятиугольника. Велико же было его изумление, когда на другой фотографии пары он увидел ТАКОЕ ЖЕ созвездие, той же величины и той же яркости! Велико было и удивление всех остальных астрономов, когда они услышали это сообщение (и немедленно проверили его). И скоро об этом узнали все жители Земли. Было решено одновременно выслать две космических экспедиции (на предмет проверки, не посылают ли на Землю сигналы внеземные цивилизации): одна экспедиция — прямо в центр первого пятиугольника, вторая — в центр диаметрально противоположного пятиугольника.

Долго летели космонавты в ту и в другую сторону с одинаковой «субсветовой» скоростью — целых 10 лет. И всё это время за их ракетами наблюдали чуткие приборы астрономов. Вдруг в центре первого 5-угольного созвездия была зафиксирована яркая вспышка неправильной формы, и первая ракета ИСЧЕЗЛА. Астрономы решили взглянуть, видна ли вторая ракета. К своему ужасу, они увидели, что ровно в тот же момент с диаметрально противоположной стороны была зафиксирована вспышка ТОЙ ЖЕ ФОРМЫ, и вторая ракета тоже исчезла.

Могло ли такое быть?

ОТВЕТ. Могло. Если бы только космос, в который погружена Земля, был не бесконечным трехмерным пространством, а очень большой, но конечной трехмерной сферой.