Математика для гуманитариев. Живые лекции

Во времена фашистской Германии в ней процветали ученые-шарлатаны. Один из них на полном серьезе утверждал, что всё космическое пространство вокруг Земли заполнено… льдом. (То есть, что мечтать о космических полетах бессмысленно.) Ну, допустим, это так и есть. Хм. Рассмотрим тогда три объекта: поверхность Земли, внутренность Земли и наружная часть Земли, состоящая, хм, изо льда. Как называются эти объекты на языке топологии? Одинаковы ли с точки зрения топологии второй и третий объект?

ОТВЕТ. Первая часть ответа: первый объект — двумерный, типа сферы. Не имеет граничных точек.

Второй объект: 3-мерный, типа шара. Его граничные точки — все точки поверхности Земли.

Третий объект: 3-мерный, типа шарового слоя. Граничные точки — все точки поверхности Земли.

Вторая часть ответа: второй и третий тип топологически различны, так как шаровой слой существенно отличается от шара. Граничные точки у них тем не менее одинаковы.

Третья часть ответа: не следует говорить, что третий объект «бесконечный по размерам», так как в топологии неважно, каковы размеры объектов. Например, если взять поверхность сферы и выкинуть из нее одну-единственную точку, то по житейским представлениям этот объект «конечный по размерам», в то время как плоскость «бесконечна». По правилам же топологического исследования, сфера с «выколотой» точкой имеет тот же топологический тип, что и плоскость.

Возьмем и изогнем, изомнем, растянем поверхность шара, но нигде не порвем, и не склеим, никакие две точки в одну. Мы можем из нее таким образом получить, например, куб (то есть, естественно, не сам куб, а его поверхность). Чтобы понять, как это делается, покажем, как из круга, изготовленного из резины, получить квадрат (размеры квадрата неважны). Для этого надо в четырех равноудаленных местах границы круга потянуть наружу резиновый слой, пока он не примет форму квадрата. В частности, точки границы круга превратились в точки периметра квадрата.

Можно много чего сделать из резиновой камеры сдутого футбольного мяча. Но есть интуиция, которая подсказывает, что автомобильную (или велосипедную) камеру из камеры футбольного мяча сделать будет затруднительно, даже используя те широкие возможности, которые предоставляет нам топология. Куб, эллипсоид (то есть сжатая поверхность сферы), яблоко, арбуз — пожалуйста, а вот бублик из шара не сделаешь, не порвав его, либо не склеив между собой некоторые точки. Согласно сказанному выше, надо различать две разные задачи: 1) Из заполненного шара сделать заполненный бублик и 2) Из поверхности шара сделать поверхность бублика. Первая задача «решена» в подписи к рис. 28.

Рис. 28. Слева — шаровой кусок теста, справа — бублик из теста. Пекарь (или лектор?) взял левый кусок, раскатал его так, чтобы из него получился удлиненный цилиндр (в топологии заполненный цилиндр неотличим от заполненного шара), согнул его и слепил концы этого цилиндра. Вот и получился из шара бублик. Стоп-стоп. Слеплять (то есть склеивать точки) нельзя! Тип объекта изменился.

И Эйлер задался вопросом, а можно ли это утверждение доказать? Вроде бы интуитивно оно совершенно понятное. Но математика ставит задачу перевести очевидное на язык строго доказанного. Ведь если мы откроем цивилизацию, которая, например, живет на плоскости, для ее жителей будет не очевиден рассматриваемый нами факт (см. врезку 2). А с помощью математики мы сможем передать им содержание теоремы. К чему я клоню?

Врезка 2. Эйнштейн — о топологии

Однажды А. Эйнштейна попросили совсем кратко, на понятном любому языке, пояснить, в чем состоит суть сделанных им открытий. Он ответил: все мы, люди, словно маленькие жучки с завязанными глазами, ползающие по поверхности большого мяча и воображающие, что двигаемся но плоскости. Я же первый понял, что мир, в котором я живу, искривлен. Но пока не совсем понятно, как именно он искривлен. (То есть, «по-научному», каков топологический тип космоса.)

А вот к чему. Несколько лет назад математик Г. Перельман установил похожий факт, но только в пространстве больших измерений. Факт про фигуры в многомерном пространстве, которые локально похожи на искривленное трехмерное пространство. Мы живом в трехмерном пространстве, мы четвертого измерения не видим и не чувствуем. Мы можем только рассуждать, что четвертое измерение — это время, но объять его взором не можем. Поэтому мы не можем говорить так спокойно и убежденно, что сделать из шара тор в пространстве больших измерений нельзя. (Ведь в 4-мерном пространстве, как указывалось выше, МОЖНО, не нарушая правил топологии, превратить незаметным образом человека с сердцем, расположенным слева, в человека с сердцем, расположенным справа.)