Математика для гуманитариев. Живые лекции

Так вот. Спрашивается, какая скорость в центре Земли? Скорость в центре Земли очень серьезная. Там много, много метров в секунду. (Вычисления с помощью косинуса показывают, что эта скорость (независимо от массы тела Алисы) составляет 7910 м/с.) Что же происходит с энергией в полете то туда, то обратно? Есть такой закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот. На поверхности Земли есть только потенциальная, в центре только кинетическая. В полете к центру Земли потенциальная энергия постепенно уменьшается, а кинетическая на такую же величину увеличивается.

Пока что мы обсуждаем особенности полета Алисы, не усложняя его появлением гномика, который толкнул Алису вперед в центре Земли.

Кинетическая энергия имеет формулу: , где v скорость в данный момент.

Гном добавляет 1 м/с, то есть кинетическая энергия Алисы становится: .

Это должно компенсироваться тем, что Алиса вылетит вверх на некоторую высоту, чтобы прибавка потенциальной энергии компенсировала убавку дополнительной кинетической энергии.

Потенциальная энергия записывается формулой Е = mgh.

При удалении от поверхности Земли g будет немного меняться по сравнению со значением 9,81, но не очень сильно.

Давайте посмотрим на разницу этих двух кинетических энергий. — до прибавки в скорости, — увеличение энергии после прибавки.

Единицу мы, как водится, игнорируем, она очень маленькая, 2v остается. В итоге разница получается равной mv. Этой разнице и должна быть равна потенциальная энергия в точке максимального подъема Алисы на другой стороне Земли:

 mv = mgh.

Масса сокращается, то есть масса Алисы здесь никакого отношения к делу не имеет. Совсем, казалось бы, не важно, кого пнул гном. Однако следует отметить, что худенькой Алисе гному будет легче неожиданно придать лишний 1 м/с, чем увесистой Алисе. Впрочем, это проблемы гнома, а не наши с Алисой.

Остается формула: v = gh. То есть h равно v/g (если посчитать, получается 805 метров). Добавление 1 м/с в центре земли дает вылет вверх из дыры примерно на 800 метров.

А что говорит наша интуиция? Не нарушил ли наш гном закон сохранения энергии? Нет, не нарушил. Просто гному будет не так-то легко увеличить скорость Алисы на 1 м/с. Ему придется со страшной силой размахнуться кулаком, чтобы кулак приобрел скорость Алисы (7910 м/с) плюс еще 1 м/с. Мы бы с вами этого не смогли сделать. А гном, как существо волшебное, может!

Проверим задачу про звезды.

Первое, что надо осознать: те звезды, которые вы не видите летним днем из-за солнца, можно будет увидеть через полгода (зимней ночью). См. схему на рис. 94.

Рис. 94. Земля, не меняя наклона своей оси к плоскости эклиптики, вращается вокруг Солнца (справа на Земле — лето, и освещенное Солнцем северное полушарие не позволяет людям различить звезды; слева на Земле — зима, ночь). И справа, и слева ось Земли направлена в одну и ту же точку небесной сферы, поэтому видны одни и те же звезды. Важно, что расстояние между указанными двумя положениями Земли ничтожно мало по сравнению с расстоянием до ближайших (не считая Солнца) видимых на небе звезд.

Поэтому то, что вы видите во время затмения, вы уже видели полгода назад и увидите опять через полгода вперед (если этому не помешают тучи и т. п.).

Врезка 8. Кое-что о небесной сфере

Космос велик и необъятен. Ему, в общем-то, нет дела до ничтожной пылинки, называемой «планета Земля». Но на ней проживает многочисленное племя людей, которые в свободное от работы время не прочь поразмыслить над вопросами «что такое Космос» и «влияет ли Космос на жизнь человека». По поводу первого вопроса до сих пор спорят ученые — даже не смогли до сих пор понять, ограничен ли Космос по размерам, или не ограничен. А простые люди думают так: если и ограничен, то всё же он так велик, что его всё равно облететь нельзя. Так какое нам до этого дело? На второй вопрос многие люди склонны ответить так: наверное. Космос как-то влияет на жизнь людей — но гораздо меньше, чем курс доллара! Космос, конечно, может преподнести нам подарок в виде огромного метеорита, который сотрет жизнь на Земле — да ведь это когда еще будет! Может, в это время и долларов уже не будет.