Математика для гуманитариев. Живые лекции

Проблема четырех красок решена в 1976 году. Путем длиннейшего компьютерного перебора, который увенчал длинное математическое рассуждение, было доказано, что четырех цветов хватает для любой карты на плоскости. Даже математическая часть была столь сложна, что всерьез взялись за ее проверку только через 10 лет. Несколько «дырок» нашли, но все они были успешно «залатаны».

Чтобы застраховаться от ошибки в компьютерной части, написали две полностью независимые программы — ни о какой ручной проверке речи быть уже не могло. Наконец, в 1990-х годах первая часть тоже была автоматизирована, а в 2000-х всё доказательство целиком было записано на формальном языке и верифицировано программой Coq (представьте себе, есть такая программа, которая верифицирует формальные доказательства!).

Следующий набор проблем связан с простыми числами и с делимостью.

Что такое простое число? Простое число — это такое целое положительное число, которое делится только на два числа: на себя и на единицу. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…

Еще Евклид знал, что простых чисел бесконечное количество. Но, тут есть одно «но». Заметили, что простые числа любят появляться парочками через один. Например, 11 и 13, или 41 и 43. Такие числа назвали «близнецами». (Числа 2 и 3 «близнецами» не называют, потому что это единственный случай, когда расстояние между соседними простыми числами равно единице — кстати, почему?) Нерешенная проблема заключается в том, что никто не знает, бесконечно ли множество простых «близнецов».

Если мы перебираем подряд простые числа, то то и дело встречаем пары близнецов. Так вот, никто не может доказать, что какая-то конкретная пара «близнецов» последняя, или что таких пар бесконечное количество.

С удалением от нуля простые числа встречаются всё реже и реже. В конце XIX века Адамар и Валле-Пуссен доказали закон распределения простых чисел. Согласно этому закону, у произвольного числа от 1 до n в районе большого натурального числа n шанс оказаться простым равен 1/ln n.

Функция «логарифм» постепенно растет, поэтому данная дробь постепенно убывает, стремясь к 0, то есть вероятность встретить простое число падает вплоть до нуля.

ПРИМЕР. Пусть n = 20. Тогда шанс встретить простое число среди первых 20 натуральных чисел равен 1/ln 20, что примерно равно 1/2,996 = 0,3338. Значит, ожидается, что среди первых 20 чисел простых будет 20 · 0,3338 = 6,676. На самом деле их ровно 8.

А вот простые «близнецы» встречаются не регулярно — более нерегулярно, чем сами простые числа. Разрыв между ними то маленький, то большой. Вопрос: стремится ли к нулю минимальный разрыв? В 2013 году было доказано, что нет.

Следующая проблема. Если вы перебираете четные числа, то их можно разбить на два слагаемых: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7. Всегда получается представить четное число в виде суммы двух простых:

22 = 11 + 11, 36 = 19 + 17, 66 = «напишите сами, какие», и так далее.

Пока все четные числа, которые смог проверить компьютер, удалось разложить в сумму двух простых. Гипотеза И. М. Виноградова состоит в том, что любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Виноградов доказал, что любое нечетное число можно представить в виде суммы 3 простых чисел. А вот про четные пока не могут доказать.

Совершенные числа

Сколько совершеннолетий в жизни человека? Многие думают, что одно — 18-летие. На самом деле совершеннолетий в жизни человека — два! Это «6-летие» и «28-летие». Потому что числа эти — «совершенные».

Что же такое совершенное число? Совершенное число — это число, которое равно сумме своих делителей, меньших, чем само это число. Какие делители у числа 6, считая единицу, но не считая его самого? 1…

Подсказка из аудитории: 1, 2, 3.

А.С.: Мы видим, что 1 + 2 + 3 = 6. Какие делители у числа 28? 1, 2, 4, 7, 14. Всё. И снова выполняется равенство такого же типа:

1 + 2 + 4 + 7+14 = 28.

В жизни человека ровно два совершенных возраста, потому что следующее совершенное число равно 496.

У математиков есть тост на совершеннолетие. Они, правда, празднуют 28, а не 18 лет. Тост всегда такой: «Чтоб тебе дожить до следующего совершеннолетия». Но вроде как никому еще не удавалось.

Так, а в чём же загадка? Априори совершенными числами могут быть как четные числа, так и нечетные. Более того, все четные уже описаны.